Question

如圖12所示，AB是一個(gè)固定在豎直面內(nèi)的弧形軌道，與豎直圓形軌道BCD在最低點(diǎn)B平滑連接，且B點(diǎn)的切線是水平的；BCD圓軌道的另一端D與水平直軌道DE平滑連接。B、D兩點(diǎn)在同一水平面上，且B、D兩點(diǎn)間沿垂直圓軌道平面方向錯(cuò)開(kāi)了一段很小的距離，可使運(yùn)動(dòng)物體從圓軌道轉(zhuǎn)移到水平直軌道上�，F(xiàn)有一無(wú)動(dòng)力小車從弧形軌道某一高度處由靜止釋放，滑至B點(diǎn)進(jìn)入豎直圓軌道，沿圓軌道做完整的圓運(yùn)動(dòng)后轉(zhuǎn)移到水平直軌道DE上，并從E點(diǎn)水平飛出，落到一個(gè)面積足夠大的軟墊上。已知圓形軌道的半徑R=0.40m，小車質(zhì)量m=2.5kg，軟墊的上表面到E點(diǎn)的豎直距離h=1.25m、軟墊左邊緣F點(diǎn)到E點(diǎn)的水平距離s=1.0m。不計(jì)一切摩擦和空氣阻力，弧形軌道AB、圓形軌道BCD和水平直軌道DE可視為在同一豎直平面內(nèi)，小車可視為質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度g =10m/s2。

（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小車通過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度至少多大；

（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力多大；

（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明要使小車完成上述運(yùn)動(dòng)，其在弧形軌道的釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離應(yīng)滿足什么條件。

Answer 1

解：（1）設(shè)小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小車通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為vC，

根據(jù)牛頓第二定律有 mg=m……………………………………………………1分

解得vC== m/s =2.0m/s   …………………………………………1分

   （2）小車恰能在圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，此情況下小車通過(guò)B點(diǎn)的速度為vB，軌道對(duì)小車的支持力為FN。

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有 mv=mvC2+2mgR  ………………………………2分

根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg=m    …………………………………………1分

解得  FN=150N    …………………………………………………………………1分

（3）設(shè)小車從E點(diǎn)水平飛出落到軟墊上的時(shí)間為，則h=gt2，

解得t=0.50s…………………………………………………………………………1分

設(shè)小車以vE的速度從E點(diǎn)水平飛出落到軟墊F點(diǎn)右側(cè)，則vEt＞s，解得vE2.0m/s

要使小車完成題目中所述運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)當(dāng)滿足兩個(gè)條件：

小車通過(guò)軌道B點(diǎn)的速度m/s；

小車通過(guò)E點(diǎn)的速度vE2.0 m/s。

因vE= vB，綜合以上兩點(diǎn)，小車通過(guò)B點(diǎn)的速度應(yīng)不小于m/s………1分

設(shè)釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgH= mvB2，解得H=1.0m

釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離H≥1.0m…………………………………………………1分