Question

2．2004年，我國(guó)正式開(kāi)展月球探測(cè)工程，并命名為“嫦娥工程”．嫦娥工程分為“無(wú)人月球探測(cè)”、“載人登月”和“建立月球基地”三個(gè)階段，設(shè)想在月球表面上，宇航員登測(cè)出小物塊自由下落h高度所用的時(shí)間為t，當(dāng)飛船在靠近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)得其周期為T(mén)，已知引力常量為G，根據(jù)上述各量，試求：
（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）月球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求月球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由近月衛(wèi)星的周期與引力常量求月球的質(zhì)量．

解答 解：（1）根據(jù)自由落體有：h=$\frac{1}{2}$g_月t²
得月球表面的重力加速度為：g_月=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
（2）令月球半徑為R，則月球表面重力萬(wàn)有引力相等，而近月飛行的衛(wèi)星由萬(wàn)有引力提供向心力有：
mg_月=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球半徑為：
R=$\frac{{g}_{月}}{4{π}^{2}}$T²=$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$
由根據(jù)重力與萬(wàn)有引力相等有：
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg_月
月球的質(zhì)量為：
M=$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h}{G{t}^{2}}$•$\frac{{h}^{2}{T}^{4}}{4{π}^{4}{t}^{4}}$=$\frac{{h}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{6}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{{h}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{6}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．本題重點(diǎn)是利用好月球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，這種以在星球表面自由落體、平拋物體、豎直上拋物體求解星球表面重力加速度的方式是比較常見(jiàn)的．