Question

1．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長(zhǎng)為R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的$\frac{3}{4}$圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)．在外力作用下，小球從A點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤除外力．已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)C，重力加速度為g．求：
（1）小球在B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）小球在AB段運(yùn)動(dòng)的加速度大小；
（3）小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，知彈力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在B點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)速度位移公式求出小球在AB段運(yùn)動(dòng)的加速度大�。�
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒求出D點(diǎn)速度和A點(diǎn)的速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）小球在最高點(diǎn)C所受軌道正壓力為零，有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$，
小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
（2）由于小球在AB段由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度大小為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
${{v}_{B}}^{2}=2aR$，
解得：a=$\frac{5}{2}g$．
（3）設(shè)小球在D處的速度大小為v_D，下落到A點(diǎn)的速度為v，由機(jī)械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR$，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
設(shè)從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，gt=v-v_D，
解得：t=$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）小球在B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）小球在AB段運(yùn)動(dòng)的加速度大小為$\frac{5}{2}g$；
（3）小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒，運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，物體恰好通過(guò)C點(diǎn)是本題的突破口，這一點(diǎn)要注意把握，難度適中．