Question

1．圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在$\frac{2}{3}$m到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口C時對管壁的作用力恰好為零，其做圓周運(yùn)動的向心力完全由重力提供，對其受力分析后，利用圓周運(yùn)動向心力公式來解；
（2）解除鎖定時彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，使用機(jī)械能守恒定律可解；
（3）利用平拋規(guī)律、機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系求解魚餌能夠落到水面的最大面積S．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到在管口C時做圓周運(yùn)動的向心力完全由重力提供，則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$…②
（2）彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有：
 E_p=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：E_p=3mgR…④
（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口后做平拋運(yùn)動，設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運(yùn)動規(guī)
律有：
4.5R=$\frac{1}{2}$gt² …⑤
x₁=v₁t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x₁=4R…⑦
當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m時，設(shè)其到達(dá)管口C時速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律有：
=$\frac{2}{3}$mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）{v}_{2}^{2}$…⑧
由④⑧式解得：v₂=2$\sqrt{gR}$…⑨
質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m的魚餌落到水面上時，設(shè)離OO′的水平距離為x₂，則有：
x₂=v₂t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x₂=7R 
魚餌能夠落到水面的最大面積S，則S=$\frac{1}{4}$（πx₂²-πx₁²）=$\frac{33}{4}$πR²（或8.25πR²）
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p為3.5mgR；
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積S是84πR²．

點(diǎn)評 本題考查豎立平面內(nèi)的圓周運(yùn)動、平拋規(guī)律、機(jī)械能守恒定律等知識，關(guān)鍵是把握圓周運(yùn)動的臨界條件和平拋運(yùn)動的研究方法：運(yùn)動的分解法．