Question

14．如圖所示質(zhì)量M=3m，長(zhǎng)為2l的均勻長(zhǎng)木板靜止在水平地面上，兩者間的摩擦因數(shù)μ=$\frac{1}{8}$，板的右端有一質(zhì)量為m的小物塊從靜止出發(fā)通過(guò)與木板的某種相互機(jī)制，相對(duì)木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg運(yùn)動(dòng)，其中α＞1是一個(gè)不變的參數(shù)．小物塊到達(dá)板中央后，立即改成以相對(duì)于木板a=$\frac{1}{2}$αg的反方向加速度繼續(xù)相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)到左端停下，直到木板在地面上不再運(yùn)動(dòng)為止．計(jì)算木板在地面上朝右的總位移大小s．

Answer 1

分析 小物塊與木板之間的作用力提供小物塊的加速度，由牛頓第二定律寫(xiě)出加速度的表達(dá)式，然后與相對(duì)速度的關(guān)系相結(jié)合，即可求出位移的關(guān)系．

解答 解：當(dāng)小物塊相對(duì)木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊與木板之間的摩擦力為f₁；由題可知小物塊相對(duì)于地面向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，木板相對(duì)于地面向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度的大小為a₂，設(shè)木板與地面之間的摩擦力為f，選取向左為正方向，則由牛頓第二定律得：f₁=ma₁  ①
木板受到小物塊對(duì)木板的向右的摩擦力與地面對(duì)木板的向左的摩擦力：f-f₁=-Ma₂  ②
小物塊木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg運(yùn)動(dòng)，則：a=a₁+a₂   ③
又f=μ（m+M）g=4μmg  ④
聯(lián)立①②③④得：${f}_{1}=\frac{3}{4}ma+μmg$=$\frac{3}{4}m•\frac{1}{2}αg+\frac{1}{8}mg=\frac{3}{8}α•mg+\frac{1}{8}mg$
所以：${a}_{1}=\frac{{f}_{1}}{m}=\frac{3}{8}•αg+\frac{1}{8}g$，${a}_{2}=\frac{1}{8}g（α-1）$   ⑤
小物塊加速的過(guò)程中，x₁+x₂=L；即：$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=L$ ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3α+1}{α-1}$，${x}_{2}=\frac{α-1}{4α}L$
當(dāng)小物塊相對(duì)木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊與木板之間的摩擦力大小為f₂；木板對(duì)小物塊的摩擦力的方向向右；由題可知小物塊相對(duì)于地面向左運(yùn)動(dòng)，加速度的方向向右，設(shè)加速度大小為a₃，木板相對(duì)于地面向右運(yùn)動(dòng)，受到地面的摩擦力仍然向左，設(shè)加速度的大小為a₄，設(shè)木板與地面之間的摩擦力為f，選取向左為正方向，則由牛頓第二定律得：
-f₂=-ma₃   ⑦
木板受到小物塊對(duì)木板的向左的摩擦力與地面對(duì)木板的向左的摩擦力：f+f₂=Ma₄   ⑧
小物塊木板以朝左的恒定加速度a=$\frac{1}{2}$αg做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的方向向右，則：a=a₃+a₄   ⑨
聯(lián)立⑦⑧⑨得：${f}_{2}=\frac{1}{4}f-3ma=μmg-\frac{3}{4}ma$=$\frac{1}{8}mg-\frac{3}{4}m•\frac{1}{2}αg=\frac{1}{8}mg-\frac{3}{8}α•mg$
${a}_{3}=\frac{{f}_{2}}{m}=\frac{3}{8}αg-\frac{1}{8}g=\frac{1}{8}g（3α-1）$，${a}_{4}=\frac{1}{8}g（α+1）$
x₃+x₄=L，$\frac{{x}_{3}}{{x}_{4}}=\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}=\frac{3α-1}{α+1}$
所以：${x}_{4}=\frac{1+α}{2α}•L$
木板在地面上朝右的總位移大小s：$s={x}_{2}+{x}_{4}=\frac{4+α}{4α}•L$
答：木板在地面上朝右的總位移大小是$\frac{4+α}{4α}•L$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，涉及物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)以及相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度與加速度，該知識(shí)點(diǎn)不屬于高考中必考的內(nèi)容參加競(jìng)賽的同學(xué)僅作參考．