Question

20．設(shè)想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動，宇航員測出飛船繞行n圈所用的時間為t．登月后，宇航員利用身邊的彈簧秤測出質(zhì)量為m的物體重力G₁，已知引力常量為G，則月球的平均密度為$\frac{3π{n}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；根據(jù)以上信息能否求出月球的第一宇宙速度？能（選填“能”或“不能”）．

Answer 1

分析 飛船繞行n圈所用的時間為t，其周期為$T=\frac{t}{n}$，${G}_{1}^{\;}=mg$，可得到月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$和萬有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$求出月球的密度和月球的第一宇宙速度．

解答 解：設(shè)月球的半徑為R，月球的質(zhì)量為M，
$g=\frac{{G}_{1}^{\;}}{m}①$
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg=mR（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$②
宇航員測出飛船繞行n圈所用的時間為t，$T=\frac{t}{n}$③
由①②③式得，$R=\frac{{G}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}m}$
月球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{3π}{G（\frac{t}{n}）_{\;}^{2}}$=$\frac{3π{n}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{G}_{1}^{\;}}{m}×\frac{{G}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}m}}$=$\frac{{G}_{1}^{\;}t}{2πmm}$，故能求出月球上的第一宇宙速度
故答案為：$\frac{3π{n}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$       能

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要建立模型，掌握萬有引力等于重力和萬有引力，由萬有引力提供向心力并知道向心力的線速度、角速度、周期的表達(dá)式