Question

11．如圖甲所示，兩根足夠長的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距為L，M、P兩點間接在阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直斜面向下．導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可忽略．讓ab桿沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦．

（1）由b向a方向看到的裝置如圖乙所示，請在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；
（2）在加速下滑過程中，當(dāng)ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大��；
（3）求在下滑過程中，ab桿可以達(dá)到的速度最大值．
（4）若在ab桿由靜止下滑到最大速度的過程中，R上產(chǎn)生的熱量為Q，ab桿下滑的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）ab桿受重力、支持力和安培力三個力作用．
（2）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式求出電動勢的大小，結(jié)合閉合電路歐姆定律求出電流的大小，從而得出安培力，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．
（3）當(dāng)ab桿的加速度為零時，速度最大，結(jié)合平衡得出最大速度．
（4）根據(jù)能量守恒求出ab桿下滑的高度．

解答 解：（1）ab桿的受力如圖所示．
（2）感應(yīng)電動勢E=BLv，則感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$．
安培力${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，加速度a=$\frac{mgsinθ-{F}_{A}}{m}$=$gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．
（3）當(dāng)加速度為零時，速度最大，有：$gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{mR}=0$，
解得最大速度v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（4）根據(jù)能量守恒得，mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+Q$，
解得h=$\frac{\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}+Q}{mg}$．
答：（1）受力如圖所示．
（2）此時ab桿中的電流為$\frac{BLv}{R}$，加速度的大小為$gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．
（3）ab桿可以達(dá)到的速度最大值為$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（4）ab桿下滑的高度是$\frac{\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}+Q}{mg}$．

點評 本題考查了電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、能量守恒定律的直接應(yīng)用，涉及到電動勢、安培力等的計算，難度適中．