Question

11．空間建立直角坐標系，如圖所示，在第一象限和第四象限內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強磁場，第二象限內(nèi)存在沿+x方向的勻強電場，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的離子（不計重力）從x軸上距坐標原點距離為L的A點以沿+y方向的初速度v₀射入電場，到達+y軸距離坐標原點為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L的B點進入第一象限，然后再經(jīng)過x軸后第一次到達坐標原點O，求：
（1）離子到達B點時的速度大小．
（2）離子離開B點通過x軸的位置坐標．
（3）勻強電場的電場強度與勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小的比值．

Answer 1

分析 （1）離子在第二象限做類平拋運動，可分解為在沿+y方向做勻速直線運動，在x方向做勻加速直線運動，分別列式，再求出離子在B點沿+y、+x方向的分速度，再利用分速度求出B點時的速度；
（2）根據(jù)粒子在B點與+y方向的角度，以及離子在磁場在運動的對稱性，找到圓心和半徑，畫出運動軌跡，再求在x軸的坐標；
（3）根據(jù)在第二象限的加速度求出電場強度表達式，根據(jù)離子在磁場中運動的半徑求出磁感應(yīng)強度表達式，最后再求它們的比值．

解答 解：（1）離子在第二象限做類平拋運動，可分解為在沿+y方向做勻速直線運動，在x方向做勻加速直線運動
則沿+y方向有$\frac{2\sqrt{3}}{3}L={v}_{0}t$
沿著+x方向有：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得a=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2L}$
在B點時離子+y方向的分速度為v_y=v₀
在B點時離子+x方向的分速度為v_x=at=$\sqrt{3}{v}_{0}$
則離子到達B點時的速度$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2{v}_{0}$；
（2）離子在B點速度與+y方向的夾角為θ，則tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=\sqrt{3}$，則θ=60°
由對稱性作出離子做圓周運動的圓心和半徑，畫出運動軌跡如圖所示
由幾何關(guān)系知粒子做圓周運動的半徑R=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}L}{sin60°}=\frac{2}{3}L$
設(shè)與x軸交于點C，則OC=$2Rcos60°=\frac{2}{3}L$
則離子離開B點通過x軸的位置坐標為（$\frac{2}{3}L，0$）
（3）在第二象限：a=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2L}$=$\frac{qE}{m}$，解得電場強度E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
在磁場中，洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律有
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得勻強磁場的磁感應(yīng)強度B=$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$
則$\frac{E}{B}=\frac{{v}_{0}}{2}$；
答：（1）離子到達B點時的速度大小為2v₀；
（2）離子離開B點通過x軸的位置坐標為（$\frac{2}{3}L，0$）；
（3）勻強電場的電場強度與勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小的比值為$\frac{{v}_{0}}{2}$．

點評 本題考查帶電粒子在組合場中的運動，解題的關(guān)鍵是在電場中利用粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的規(guī)律，將運動分解；在磁場中按照找圓心，求半徑，畫軌跡的思路求解．