Question

12．兩顆靠得較近的天體容易形成雙星系統(tǒng)．它們在萬有引力的作用下，繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀測所得，某雙星系統(tǒng)中，兩星體中心距離為r，兩星體的質(zhì)量分別為m₁和m₂．則兩星體繞共同圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比r₁：r₂=m₂：m₁，它們共同的角速度為$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$．（引力常量為G）

Answer 1

分析 兩顆恒星都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩顆恒星之間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解兩星體繞共同圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比；
兩星體中心距離為r，根據(jù)第一問的結(jié)論求解出兩個(gè)半徑，然后進(jìn)一步根據(jù)萬有引力定律提供向心力列式求解它們共同的角速度．

解答 解：（1）兩顆恒星都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩顆恒星之間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
對m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$        ①
對m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}={m}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$        ②
故：m₁r₁=m₂r₂
r₁：r₂=m₂：m₁               ③
（2）由于r₁+r₂=r，結(jié)合③式解得：
r₁=$\frac{{m}_{2}r}{{m}_{1}+{m}_{2}}$                 ④
將④式代入①式，解得：
ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$
故答案為：m₂：m₁； $\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$．

點(diǎn)評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：角速度相同．