Question

9．現(xiàn)有一根長為L=1m的剛性輕繩（繃緊瞬間繩長度不變），其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量為m=0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無張力，如圖所示，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，若現(xiàn)在將小球以速度v₀=1m/s水平拋出的瞬間，則：
（1）繩中若有張力，求其大小，若無張力，試求繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間和此時(shí)小球豎直方向的分速度．
（2）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)，繩子的拉力是多少？

Answer 1

分析 （1）由于v₂＜V₀，故繩中沒有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）由動(dòng)能定理求的O點(diǎn)最低端的速度，由牛頓第二定律求的拉力

解答 解：（1）若小球能作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)速度至少為v₁
$mg=\frac{{mv}_{1}^{2}}{L}$
${v}_{1}=\sqrt{gL}=\sqrt{10}m/s＞1m/s$
小球以v₀=1m/s作平拋運(yùn)動(dòng)．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，此時(shí)OB與豎直方向夾角為θ，
Lsinθ=v₀t            （1）
L+Lcosθ$\frac{1}{2}$gt²        （2）
由（1），（2）代入數(shù)據(jù)得：cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，t=0.6s
豎直分速度為：v_y²=2gL（1+cosθ）
得：v_y=6m/s
（2）繩繃緊瞬間沿半徑方向速度立即減小為0，設(shè)切線方向速度為v₃
v₃=v_ysinθ-v₀ cosθ=2.8m/s
小球由B運(yùn)動(dòng)到C，由機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{3}^{2}+mgL（1-cosθ）$
小球在C點(diǎn)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)得：F=10.92N
答：（1）繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為0.6s和此時(shí)小球豎直方向的分速度為6m/s．
（2）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)，繩子的拉力是10.92N

點(diǎn)評 要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個(gè)臨界條件，與此時(shí)的物體的速度相對比，可以判斷物體能否做圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而再根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來分析解決問題，本題能夠很好地考查學(xué)生的分析解決問題的能力，是道好題．