Question

11．彈跳桿運動是一項廣受歡迎的運動．某種彈跳桿的結(jié)構(gòu)如圖甲所示，一根彈簧套在T型跳桿上，彈簧的下端固定在跳桿的底部，上端固定在一個套在跳桿上的腳踏板底部．一質(zhì)量為M的小孩站在該種彈跳桿的腳踏板上，當他和跳桿處于豎直靜止狀態(tài)時，彈簧的壓縮量為x₀．從此刻起小孩做了一系列預備動作，使彈簧達到最大壓縮量3x₀，如圖乙（a）所示；此后他開始進入正式的運動階段．在正式運動階段，小孩先保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，在彈簧恢復原長時，小孩抓住跳桿，使得他和彈跳桿瞬間達到共同速度，如圖乙（b）所示；緊接著他保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升到最大高度，如圖乙（c）所示；然后自由下落．跳桿下端觸地（不反彈）的同時小孩采取動作，使彈簧最大壓縮量再次達到3x₀；此后又保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，…，重復上述過程．小孩運動的全過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．已知跳桿的質(zhì)量為m，重力加速度為g．空氣阻力、彈簧和腳踏板的質(zhì)量、以及彈簧和腳踏板與跳桿間的摩擦均可忽略不計．
（1）求彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k，并在圖丙中畫出該彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖；
（2）借助彈簧彈力的大小F隨彈簧壓縮量x變化的F-x圖象可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎上，求在圖乙所示的過程中，小孩在上升階段的最大速率；
（3）求在圖乙所示的過程中，彈跳桿下端離地的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平衡條件以及胡克定律可求得勁度系數(shù)，并畫出對應的圖象；
（2）對全過程進行分析，根據(jù)機械能守恒定律可求得最大速度；
（3）分別對彈簧恢復原狀和小孩抓住桿的過程由機械能守恒定律和動量守恒定律列式，聯(lián)立即可求得最大高度．

解答 解：（1）小孩處于靜止狀態(tài)時，根據(jù)平衡條件有Mg=kx₀
解得：k=$\frac{Mg}{{x}_{0}}$
F-x圖如圖所示

（2）利用F-x圖象可知，圖線與橫軸所包圍的面積大小等于彈簧彈力做功的大�。�
彈簧壓縮量為x時，彈性勢能為E_p弾=$\frac{1}{2}$kx²
圖a狀態(tài)彈簧的彈性勢能為E_p弾1=$\frac{1}{2}$k（3x₀）²
小孩從圖a至圖b的過程，小孩先做加速運動后做減速運動，當彈簧彈力與重力等大時小孩向上運動的速度最大，設其最大速度為v_max
此時彈簧壓縮量為x₀，彈簧的彈性勢能為E_p弾2=$\frac{1}{2}$kx²
從圖a至小孩向上運動速度達到最大的過程中，小孩和彈簧系統(tǒng)機械能守恒，因此有：
$\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀-x₀）+$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$kx²
解得：v_max=2$\sqrt{g{x}_{0}}$ 
（3）圖a狀態(tài)至彈簧長度為原長的過程中，小孩和彈簧系統(tǒng)機械能守恒．設小孩在彈簧長度為原長時的速度為v₀，則有：
$\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀）+$\frac{1}{2}$Mv²                          
小孩迅速抓住跳桿的瞬間，內(nèi)力遠大于外力，小孩和彈跳桿系統(tǒng)動量守恒．
設小孩和彈跳桿共同速度為v₁，規(guī)定豎直向上方向為正，有Mv₀=（M+m）v₁
小孩和彈跳桿一起豎直上升至最高點，小孩和彈跳桿系統(tǒng)機械能守恒，因此有：
$\frac{1}{2}$（M+m）v²=（M+m）gh_max
解得：h_max=$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$
答：（1）彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k為$\frac{Mg}{{x}_{0}}$，彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖如圖所示；
（2）在圖乙所示的過程中，小孩在上升階段的最大速率為2$\sqrt{g{x}_{0}}$
（3）求在圖乙所示的過程中，彈跳桿下端離地的最大高度為$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$．

點評 本題考查機械能守恒定律的應用，要注意正確分析全過程，明確彈簧的彈性勢能與重力勢能之間的轉(zhuǎn)化及守恒規(guī)律的應用；即注意能量轉(zhuǎn)化的方向問題．