Question

14．一球形人造衛(wèi)星，其最大橫截面積為A、質(zhì)量為m，在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)．由于受到稀薄空氣阻力的作用，導(dǎo)致衛(wèi)星運(yùn)行的軌道半徑逐漸變�。�衛(wèi)星在繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)很多圈之后，其軌道的高度下降了△H，由于△H＜＜R，所以可以將衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的每一圈均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)地球可看成質(zhì)量為M的均勻球體，萬(wàn)有引力常量為G．取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，當(dāng)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑為r時(shí)，衛(wèi)星與地球組成的系統(tǒng)具有的勢(shì)能可表示為E_P=-$\frac{GMm}{r}$．
（1）求人造衛(wèi)星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）某同學(xué)為估算稀薄空氣對(duì)衛(wèi)星的阻力大小，做出了如下假設(shè)：衛(wèi)星運(yùn)行軌道范圍內(nèi)稀薄空氣的密度為ρ，且為恒量；稀薄空氣可看成是由彼此不發(fā)生相互作用的顆粒組成的，所有的顆粒原來(lái)都靜止，它們與人造衛(wèi)星在很短時(shí)間內(nèi)發(fā)生碰撞后都具有與衛(wèi)星相同的速度，在與這些顆粒碰撞的前后，衛(wèi)星的速度可認(rèn)為保持不變．在滿足上述假設(shè)的條件下，請(qǐng)推導(dǎo)：
①估算空氣顆粒對(duì)衛(wèi)星在半徑為R軌道上運(yùn)行時(shí)，所受阻力F大小的表達(dá)式；
②估算人造衛(wèi)星由半徑為R的軌道降低到半徑為R-△H的軌道的過(guò)程中，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)圈數(shù)n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑求出周期的大小．
（2）①取衛(wèi)星前一定空間內(nèi)的空氣為研究對(duì)象，結(jié)合動(dòng)量定理以及萬(wàn)有引力提供向心力求出阻力F的大�。�
②根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出在不同軌道上的速度，從而求出在不同軌道上的動(dòng)能，以及在不同軌道上的機(jī)械能，根據(jù)機(jī)械能的變化，結(jié)合阻力做功求出衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)圈數(shù)n的表達(dá)式．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=M$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
（2）①最大橫截面積為A的衛(wèi)星，經(jīng)過(guò)時(shí)間△t從圖中的實(shí)線位置運(yùn)動(dòng)到了圖中的虛線位置，該空間區(qū)域的稀薄空氣顆粒的質(zhì)量為：△m=ρAv△t
以這部分稀薄空氣顆粒為研究對(duì)象，碰撞后它們都獲得了速度v，設(shè)飛船給這部分稀薄空氣顆粒的平均作用力大小為F，根據(jù)動(dòng)量定理有：F△t=△mv
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=M$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F=$\frac{ρAGM}{R}$，
根據(jù)牛頓第三定律，衛(wèi)星所受的阻力大小為：F′=F=$\frac{ρAGM}{R}$．
②設(shè)衛(wèi)星在R軌道運(yùn)行時(shí)的速度為v₁、動(dòng)能為E_k1、勢(shì)能為E_p1、機(jī)械能為E₁，
根據(jù)牛頓定律和萬(wàn)有引力定律有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
衛(wèi)星的動(dòng)能為：E_K1=$\frac{1}{2}$mv₁²，
勢(shì)能為：E_P1=-$\frac{GMm}{R}$，
解得：E₁=-$\frac{GMm}{2R}$，
衛(wèi)星高度下降△H，在半徑為（R-△H）軌道上運(yùn)行，
同理可知其機(jī)械為：E₂=-$\frac{GMm}{2（R-△H）}$，
衛(wèi)星軌道高度下降△H，其機(jī)械能的改變量為：△E=-$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{R-△H}$-$\frac{1}{R}$）
衛(wèi)星機(jī)械能減少是因?yàn)榭朔�空氣阻力做了功．設(shè)衛(wèi)星在沿半徑為R的軌道運(yùn)行一周過(guò)程中稀薄空氣顆粒作用于衛(wèi)星的阻力做的功為W₀，
利用小量累積的方法可知W₀=-F×2πR=-2πρAGM上式表明衛(wèi)星在繞不同軌道運(yùn)行一周，稀薄空氣顆粒所施加的阻力做的功是一恒量，與軌道半徑無(wú)關(guān)．則△E=nW₀
解得：n=$\frac{m△H}{4πρA（R-△H）R}$．
答：（1）人造衛(wèi)星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
（2）①阻力F大小的表達(dá)式為F=$\frac{ρAGM}{R}$．
②衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)圈數(shù)n的表達(dá)式為n=$\frac{m△H}{4πρA（R-△H）R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律與功能關(guān)系、動(dòng)量定理等知識(shí)的綜合，難度較大，難點(diǎn)在于能夠正確地建立物理模型，比如選取衛(wèi)星前的一定空間內(nèi)的空氣為研究對(duì)象，結(jié)合動(dòng)量定理求解阻力的大�。�