Question

3．如圖所示，一壓縮的輕彈簧左端固定，右端與一滑塊相接觸但不連接，滑塊質(zhì)量為m，與水平地面間的動摩擦因數(shù)為0.1，A點(diǎn)左側(cè)地面光滑，AB的長度為5R，現(xiàn)將滑塊由靜止釋放，滑塊運(yùn)動到A點(diǎn)時彈簧恢復(fù)原長，以后繼續(xù)向B點(diǎn)滑行，并滑上光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧BC，在C點(diǎn)正上方有一離C點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺直徑方向開有兩個離軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時兩孔均能達(dá)到C點(diǎn)的正上方．若滑塊滑過C點(diǎn)后進(jìn)入P孔，又恰能從Q孔落下，已知物體通過B點(diǎn)時對地面的壓力為9mg．求：
（1）滑塊通過B點(diǎn)時的速度v_B；
（2）彈簧釋放的彈性勢能E_p；
（3）平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）物體經(jīng)過B點(diǎn)做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律可求得B點(diǎn)的速度；
（2）物體由靜止釋放到B點(diǎn)，利用動能定理和功能關(guān)系可求得彈簧的彈性勢能；
（3）滑塊從B點(diǎn)開始運(yùn)動后機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊到達(dá)P處時速度，物體豎直上拋，利用運(yùn)動學(xué)公式求出落回小孔的時間剛好與圓盤轉(zhuǎn)一周或整數(shù)周的時間相同，可求出平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）物體經(jīng)過B點(diǎn)做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
即：$9mg-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：${v}_{B}=2\sqrt{2gR}$
（2）物體由靜止釋放到B點(diǎn)，根據(jù)動能定理可得：$W-μmgx=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
又由功能關(guān)系W=E_P
解得：${E}_{P}=μmg×5R+\frac{1}{2}m（2\sqrt{2gR}）^{2}$
即E_P=4.5mgR
（3）滑塊從B點(diǎn)開始運(yùn)動后機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊到達(dá)P處時速度為V_P．
則由機(jī)械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}+mg×2R$     解得：${v}_{p}=2\sqrt{gR}$
滑塊穿過P孔后再回到平臺時間：$t=\frac{2{v}_{p}}{g}=4\sqrt{\frac{R}{g}}$
要想實(shí)現(xiàn)上述過程，必須滿足ωt=（2n+1）π
解得：$ω=\frac{（2n+1）π}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}（n=0、1、2…）$
答：（1）滑塊通過B點(diǎn)時的速度為$2\sqrt{2gR}$；
（2）彈簧釋放的彈性勢能為4，5mgR；
（3）平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應(yīng)滿足的條件是$ω=\frac{（2n+1）π}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}（n=0、1、2…）$．

點(diǎn)評 解答此題的關(guān)鍵是在B點(diǎn)即做圓周運(yùn)功，要用牛頓第二定律求解，還要注意滑塊穿過圓盤小孔和平臺轉(zhuǎn)動的角速度ω應(yīng)滿足條件的可能值．