Question

12．如圖甲所示，為離子擴(kuò)束裝置的示意圖，該裝置由加速電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)組成．其中偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的兩極板由相距為d=0.12m，板長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=0.12m兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板組成．一群帶負(fù)電的相同離子（質(zhì)量為m=6.4×10^-27kg；電荷量為g=3.2×10^-19C；其重力不計(jì)）由靜止開(kāi)始，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，連續(xù)不斷地沿平行于導(dǎo)體板的方向從兩板正中央射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．當(dāng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的兩極板不加電壓時(shí)，離子通過(guò)兩板之間的時(shí)間為3×10^-7s；當(dāng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的兩極板間加如圖乙所示的電壓時(shí)，所有離子均能從兩板間通過(guò)，然后進(jìn)入水平寬度L₂=0.16m、豎直長(zhǎng)度足夠大、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)右邊界為豎直放置的熒光屏（不考慮離子間相互作用）．求：

（1）加速電場(chǎng)的電壓U₀；
（2）離子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的最大側(cè)移量y_m；
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小取何值時(shí)，離子能打到熒光屏的位置最低，并求出最低位置離中心點(diǎn)O的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，對(duì)加速過(guò)程運(yùn)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式，對(duì)直線(xiàn)加速過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，最后聯(lián)立求解得到加速電場(chǎng)的電壓U₀；
（2）粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，若有偏轉(zhuǎn)電壓則粒子在電場(chǎng)方向上先做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電壓為0時(shí)粒子將保持電場(chǎng)方向上的速度做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子一進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)電壓為0，則在電場(chǎng)方向先做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓不為0時(shí)開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由此可以判斷粒子何時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)位移最大，何時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)位移最�。�
（3）作出粒子在磁場(chǎng)中的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡，知道什么情況下粒子進(jìn)入磁場(chǎng)打到屏上的位置盡可能低，并根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑關(guān)系和最低點(diǎn)離O點(diǎn)的距離h．

解答 解：（1）離子被加速后射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，速度設(shè)為v₀；粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，故：
${v}_{0}=\frac{{L}_{1}}{t}=\frac{0.12}{3×1{0}^{-7}}m/s=4×1{0}^{5}m/s$
加速電壓設(shè)為U₀，根據(jù)動(dòng)能定理，有：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${U}_{0}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}=1.6×1{0}^{3}V$
（2）t=3n×10^-7s（n=0、1、2、…）時(shí)刻射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的離子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)有最大側(cè)移量，該粒子在垂直于極板方向分運(yùn)動(dòng)：
在前$\frac{2}{3}T$（T=3×10^-7s）時(shí)間內(nèi)勻加速運(yùn)動(dòng)：a=$\frac{qU}{md}=1.5×1{0}^{12}m/{s}^{2}$
v_y=a×$\frac{2}{3}T$=3×10⁵m/s
在后$\frac{1}{3}$T時(shí)間內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng)，射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)最大側(cè)移量：
${y}_{m}=\frac{1}{2}{v}_{y}×\frac{2}{3}T=0.06m$
（3）t=（3n+2）×10^-7s（n=0、1、2、…）時(shí)刻射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的離子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)有最小側(cè)移量，該粒子在垂直于極板方向分運(yùn)動(dòng)情況為只在后$\frac{2}{3}$T時(shí)間內(nèi)勻加速運(yùn)動(dòng)，出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)：
v_y=a×$\frac{2}{3}T$=3×10⁵m/s
側(cè)移量：${y}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{y}×\frac{2}{3}T=0.03m$
速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=5×1{0}^{5}m/s$
偏轉(zhuǎn)角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{3}{4}$
故θ=37°
離子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在原子軌跡與熒光屏相切時(shí)，離子達(dá)到熒光屏的位置最低；
如圖，由幾何關(guān)系得到：
r（1+sinθ）=L₂
解得：r=0.1m
由：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{mv}{qr}=0.1T$
離子打到熒光屏的位置最低點(diǎn)離O點(diǎn)距離：
y=rcosθ-y₁=0.05m
答：（1）加速電場(chǎng)的電壓為1.6×10³V；
（2）離子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的最大側(cè)移量為0.06m；
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小取0.1T時(shí)，離子能打到熒光屏的位置最低，最低位置離中心點(diǎn)O的距離為0.05m．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，電荷在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是運(yùn)動(dòng)的合成與分解；電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．