Question

8．半徑為R、折射率n=$\sqrt{2}$的透明四分之一圓柱體的橫截面如圖所示，一束足夠?qū)挼钠叫袉紊�光以入射角i從OA面射入圓柱體，其中一部分入射光能通過圓柱體從曲面射出，射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值y_m=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$．不考慮光線在透明圓柱體內(nèi)經(jīng)一次或多次反射后再射出圓柱體的復(fù)雜情形，已知sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ．求入射角i的正弦值．（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 光線從圓柱體從曲面射出時(shí)，射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大的位置剛好發(fā)生全反射，畫出光路圖，由幾何知識(shí)求出折射角正弦，再由折射定律求入射角i的正弦值．

解答 解：設(shè)由B點(diǎn)入射的光線在曲面上的P點(diǎn)發(fā)生全反射，如圖所示，由幾何關(guān)系有：
  sinθ=$\frac{PQ}{R}$，其中PQ=y_m=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$．
解得 θ=60°
由幾何關(guān)系可知，由B點(diǎn)入射的光線的折射角為：α=θ-C
由全反射規(guī)律有 sinC=$\frac{1}{n}$
又 n=$\frac{sini}{sinα}$
聯(lián)立解得 sini=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
答：入射角i的正弦值是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 明確全反射條件，正確地畫出光路圖是解決本題問題的關(guān)鍵，是折射定律和幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用．