Question

【題目】某游樂園入口旁有一鯨魚噴泉，在水泵作用下會(huì)從鯨魚模型背部噴出豎直向上的水柱，將站在沖浪板上的玩偶模型托起，懸停在空中，伴隨著音樂旋律，玩偶模型能夠上下運(yùn)動(dòng)，非常引人駐足，如圖所示。這一景觀可做如下簡化，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；設(shè)同一高度水柱橫截面上各處水的速率都相同，沖浪板底部為平板且其面積大于水柱的橫截面積，保證所有水都能噴到?jīng)_浪板的底部。水柱沖擊沖浪板前其水平方向的速度可忽略不計(jì)，沖擊沖浪板后，水在豎直方向的速度立即變?yōu)榱悖�在水平方向朝四周均勻散開。已知玩偶模型和沖浪板的總質(zhì)量為M，水的密度為ρ，重力加速度大小為g，空氣阻力及水的粘滯阻力均可忽略不計(jì)。

（1）試計(jì)算玩偶模型在空中懸停時(shí)，水對(duì)沖浪板的沖擊力大小和噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（2）實(shí)際上當(dāng)我們仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)噴出的水柱在空中上升階段并不是粗細(xì)均勻的，而是在豎直方向上一端粗一端細(xì)，請(qǐng)你分析上升階段的水柱是上端較粗還是下端較粗，并說明水柱呈現(xiàn)該形態(tài)的原因。

（3）由于水柱頂部的水與沖浪板相互作用的時(shí)間很短，因此在分析水對(duì)沖浪板的作用力時(shí)可忽略這部分水所受的重力作用。求玩偶在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度。

Answer 1

【答案】（1） （2）水柱上端較粗，下端較細(xì)。任意橫截面流速相等，下端水柱速度較上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S為水柱截面積，v為水柱中水的流速）可知，上端水柱截面較大。 （3）

【解析】（1）①玩偶處在空中靜止，此時(shí)受重力與水向上的推力，由二力平衡可知F＝Mg

②設(shè)時(shí)間內(nèi)，從噴口噴出的水的體積為，質(zhì)量為，

則，

由以上兩式得，單位時(shí)間內(nèi)從噴口噴出的水的質(zhì)量為

（2）水柱上端較粗，下端較細(xì)。任意橫截面流速相等，下端水柱速度較上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S為水柱截面積，v為水柱中水的流速）可知，上端水柱截面較大。

（3）設(shè)玩具懸停時(shí)其底面相對(duì)于噴口的高度為，水從噴口噴出后到達(dá)玩具底面時(shí)的速度大小為。

對(duì)于時(shí)間內(nèi)噴出的水，有能量守恒定律得

在高度處， 時(shí)間內(nèi)噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動(dòng)量變化量的大小為

設(shè)水對(duì)玩具的作用力的大小為F，根據(jù)動(dòng)量定理有

由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得

聯(lián)立以上各式得