Question

1．如圖所示，空間區(qū)域Ⅰ、Ⅱ有勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中電場(chǎng)方向豎直向上，區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)垂直紙面向內(nèi)，區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=$\frac{mv}{qd}$，矩形區(qū)域足夠長(zhǎng)，寬為2d，在AD邊中點(diǎn)O處有一粒子源，沿紙面向磁場(chǎng)中各方向均勻地輻射出速率均為v的帶電粒子，該粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)后恰能作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，帶電粒子質(zhì)量m，電荷量為q．已知重力加速度為g．
（1）試判斷該粒子的電性并求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）從BC邊界射出的粒子中，從哪一點(diǎn)射出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短？最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力為洛倫茲力，重力與電場(chǎng)力平衡，列出平衡方程求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）粒子作兩次圓周運(yùn)動(dòng)以后才能從BC邊離開(kāi)，當(dāng)在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域中均有最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，總時(shí)間也最短，根據(jù)幾何知識(shí)，半徑一定時(shí)，弦最短的圓弧所對(duì)應(yīng)圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．粒子最終從BC的中點(diǎn)飛出時(shí)，時(shí)間最短，由幾何關(guān)系求出圓心角，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

解答 解：（1）帶電粒子進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力為洛倫茲力，重力與電場(chǎng)力平衡，重力豎直向下，電場(chǎng)力豎直向上，即小球帶正電．由qE=mg解得：$E=\frac{mg}{q}$
（2）由$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
可得粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑R=d
粒子作兩次圓周運(yùn)動(dòng)以后才能從BC邊離開(kāi)，當(dāng)在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域中均有最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，總時(shí)間也最短，根據(jù)幾何知識(shí)，半徑一定時(shí)，弦最短的圓弧所對(duì)應(yīng)圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．如圖所示，粒子最終從BC的中點(diǎn)飛出時(shí)，時(shí)間最短

如圖所示，EO⊥AD，因?yàn)?\overline{EO}=2R$，對(duì)應(yīng)的圓心角$θ=\frac{π}{3}$
又因?yàn)?nbsp;$qvB=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$ 得運(yùn)動(dòng)周期為：$T=\frac{2πm}{qB}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{\frac{π}{3}}{2π}\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知總時(shí)間為：t_總=2t=$\frac{2πm}{3qB}$ 即為最短時(shí)間 
答：（1）該粒子的帶正電并求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小$\frac{mg}{q}$；
（2）從BC邊界射出的粒子中，從BC中點(diǎn)射出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，最短時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是要能正確的畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系找出圓心，求出半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解．