Question

2．近期，南海爭(zhēng)端升級(jí)，為提高警惕保衛(wèi)祖國(guó)，我國(guó)海軍為此進(jìn)行了登陸演練．如圖所示，假設(shè)一艘戰(zhàn)艦因噸位大吃水太深，只能停錨在離海岸登陸點(diǎn)s=lkm處．登陸隊(duì)員需要從較高的軍艦甲板上，利用繩索下滑到登陸快艇上再行登陸接近目標(biāo)，若繩索兩端固定好后，與豎直方向的夾角θ=30°，為保證行動(dòng)最快，隊(duì)員甲先利用溜索工具無(wú)摩擦自由加速滑到某最大速度，再靠摩擦勻減速滑至快艇，速度剛好為零，在隊(duì)員甲開(kāi)始下滑時(shí)，隊(duì)員乙在甲板上同時(shí)開(kāi)始向快艇以速度v₀=5m/s平拋救生圈（不計(jì)空氣阻力），第一個(gè)剛落到快艇，接著拋第二個(gè)，結(jié)果第二個(gè)救生圈剛好與甲隊(duì)員同時(shí)抵達(dá)快艇，若重力加速度g=10m/s²，問(wèn)：
（1）軍艦甲板到快艇的豎直高度H及隊(duì)員甲在繩索上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₀；
（2）若加速過(guò)程與減速過(guò)程中的加速度大小相等，則隊(duì)員甲在何處速度最大？最大速度是多大？
（3）若快艇與戰(zhàn)艦最初的距離相對(duì)快艇離岸距離可忽略，快艇的額定功率為5kW，載人后連同裝備總質(zhì)量為l0³kg，從靜止開(kāi)始以最大功率向登陸點(diǎn)加速靠近，到達(dá)岸邊時(shí)剛好能達(dá)到最大速度10m/s，快艇在水中受到的阻力恒定，求快艇運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t'．

Answer 1

分析 （1）救生圈做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間和H，即可得到隊(duì)員甲在繩索上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₀；
（2）由幾何關(guān)系可得繩索長(zhǎng)度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性分析得出速度最大處，由位移與平均速度關(guān)系即可求解；
（3）由動(dòng)能定理與達(dá)到最大速度時(shí)功率與阻力的關(guān)系，可聯(lián)合求得結(jié)果．

解答 解：設(shè)救生圈做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有
豎直方向上：H=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：Htanθ=v₀t
設(shè)人下滑時(shí)間為t₀，由題意知：t₀=2t  
聯(lián)立以上各式代入數(shù)據(jù)解得：H=15m  t₀=2$\sqrt{3}$s
（2）由幾何關(guān)系得：繩索長(zhǎng)：L=$\frac{H}{cos3{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$m
因加速過(guò)程與減速過(guò)程的加速度大小相等，所以，甲在繩索中點(diǎn)處速度最大，即：$\frac{1}{2}$v_mt×2=L
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=$\frac{L}{t}$=10m/s
（3）加速過(guò)程由動(dòng)能定理可得：Pt′-F_fs=$\frac{1}{2}$M${v}_{m}^{′2}$
加速到勻速時(shí)有：${v}_{m}^{′}$=$\frac{P}{{F}_{f}}$
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：t′=1.1×10²s．
答：（1）軍艦甲板到快艇的豎直高度H及隊(duì)員甲在繩索上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2$\sqrt{3}$s；
（2）隊(duì)員甲在繩索中點(diǎn)處速度最大，最大速度是10m/s；
（3）快艇運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1.1×10²s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查如何處理平拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)方法，并涉及到動(dòng)能定理的理解．注意甲在何處速度達(dá)到最大是本題的關(guān)鍵之處．