Question

5．倫敦奧運(yùn)會(huì)女子10米（即跳臺(tái)距水面10m）跳臺(tái)比賽中，我國(guó)小將陳若琳技?jí)喝悍紛Z得冠軍，設(shè)陳的質(zhì)量為m=60kg，其體形可等效為長(zhǎng)度l=1.0m，直徑d=0.3m的圓柱體，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)她跳起到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，她的重心離跳臺(tái)臺(tái)面的高度為0.70m，在從起跳到接觸水面過(guò)程中完成一系列動(dòng)作，入水后水的等效阻力F（不包括浮力）作用于圓柱體的下端面，F(xiàn)的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖象如圖所示，該直線與F軸相交于F=2.5mg處，與y軸相交于y=h（某一未知深度）處，為了確保運(yùn)動(dòng)員的安全，水池必須有一定的深度，已知水的密度ρ=1×10³kg/m³，g取10m/s²，根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算：
（1）起跳瞬間所做的功；
（2）從起跳到接觸水面過(guò)程的時(shí)間；
（3）跳水池至少應(yīng)為多深？（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用動(dòng)能定理研究運(yùn)動(dòng)員站立在跳臺(tái)上向上跳起到達(dá)最高點(diǎn)求出運(yùn)動(dòng)員起跳瞬間所做的功．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律研究運(yùn)動(dòng)員起跳到接觸水面的過(guò)程，同時(shí)結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．
（3）F的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖象面積就是水阻力做的功，根據(jù)動(dòng)能定理研究運(yùn)動(dòng)員從剛接觸水面到最深處過(guò)程求解．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，運(yùn)動(dòng)員起跳瞬間做功為：W=mg（h₁-$\frac{L}{2}$）；
其中h₁=0.7m，代入數(shù)據(jù)得：W=60×10×（0.7-$\frac{1}{2}$）=120J；
（2）起跳到接觸水面的過(guò)程為豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，對(duì)上升過(guò)程，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mg（h₁-$\frac{L}{2}$）
代入數(shù)據(jù)得：v₀=2m/s；
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式，有：
h₂=v₀t-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
-10=2t-$\frac{1}{2}×10×{t}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t=1.63s；
（3）起跳到入水到最低點(diǎn)，設(shè)水池至少為h深，入水過(guò)程克服水的阻力做的功為$\frac{F}{2}h$，克服浮力的功為$\frac{{F}_{浮}}{2}L+{F}_{浮}（h-L）$，而浮力F_浮=$\frac{ρπjgb1lmd^{2}}{4}gL$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：
W+mg（h₂+h）-$\frac{F}{2}h$-[$\frac{{F}_{浮}}{2}L+{F}_{浮}（h-L）$]=0
代入數(shù)據(jù)，得：h=7.6m；
答：（1）運(yùn)動(dòng)員起跳瞬間所做的功為120J；
（2）運(yùn)動(dòng)員從起跳到接觸水面過(guò)程的時(shí)間為1.63s；
（3）跳水池至少應(yīng)為7.6m深．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理列式后聯(lián)立求解，較難．