Question

20．如圖甲所示，有一裝置由傾斜軌道AB、水平軌道BC、豎直臺階CD和足夠長的水平直軌道DE組成，表面處處光滑，且AB段與BC段通過一小圓弧（未畫出）平滑相接．有一小球用輕繩豎直懸掛在C點(diǎn)的正上方，小球與BC平面相切但無擠壓．緊靠臺階右側(cè)停放著一輛小車，車的上表面水平與B點(diǎn)等高且右側(cè)固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點(diǎn)，其中PQ段是粗糙的，Q點(diǎn)右側(cè)表面光滑．現(xiàn)將一個滑塊從傾斜軌道的頂端A處自由釋放，滑至C點(diǎn)時與小球發(fā)生正碰，然后從小車左端P點(diǎn)滑上小車．碰撞之后小球在豎直平面做圓周運(yùn)動，輕繩受到的拉力如圖乙所示．已知滑塊、小球和小車的質(zhì)量分別為m₁=3kg、m₂=1kg和m₃=6kg，AB軌道頂端A點(diǎn)距BC段的高度為h=0.8m，PQ段長度為L=0.4m，輕繩的長度為R=0.5m． 滑塊、小球均可視為質(zhì)點(diǎn)．取g=10m/s²．求：

（1）滑塊到達(dá)BC軌道上時的速度大小．
（2）滑塊與小球碰后瞬間小球的速度大�。�
（3）要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有滑離小車，則滑塊與PQ之間的動摩擦因數(shù)μ應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（滑塊與彈簧的相互作用始終在彈簧的彈性范圍內(nèi)）

Answer 1

分析 （1）對滑塊下滑過程，由機(jī)械能守恒定律可以求出其到達(dá)BC軌道上時的速度；
（2）由圖乙可知小球在最高點(diǎn)時受到的拉力F=22N．對小球在最高點(diǎn)的情況進(jìn)行研究，由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律可以求出滑塊與小球碰后瞬間小球的速度大小；
（3）由動量守恒定律與能量守恒定律求出動摩擦因數(shù)，然后答題．

解答 解：（1）設(shè)滑塊與小球碰撞前瞬間速度為v₀，由機(jī)械能守恒，
有   ${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}v_0^2$  ①
得   v₀=4m/s
（2）設(shè)小球在最高點(diǎn)的速度為v，由圖乙可知小球在最高點(diǎn)時受到的拉力 F=22N
由牛頓第二定律，有 $F+{m_2}g=\frac{{{m_2}{v^2}}}{R}$ ②
設(shè)小球碰撞后瞬間速度為v′，由機(jī)械能守恒，有 $\frac{1}{2}{m_2}{v'^2}=\frac{1}{2}{m_2}v_{\;}^2+2{m_2}gR$ ③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)據(jù)，解得 v′=6m/s
（3）取向右為正方向，滑塊與小球碰撞過程滿足動量守恒，則有：m₁v₀=m₁v₁+m₂v′④
得碰撞后m₁的速度 v₁=2m/s，方向向右
滑塊最終沒有滑離小車，滑塊和小車之間必有共同的末速度 v_共
由滑塊與小車組成的系統(tǒng)動量守恒：m₁v₁=（m₁+m₃）v_共 ⑤
（Ⅰ）若μ較大，則滑塊可能不與彈簧接觸就已經(jīng)與小車相對靜止，設(shè)滑塊恰好滑到Q點(diǎn)，由能量轉(zhuǎn)化與守恒有
 ${μ_1}{m_1}gL=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2-\frac{1}{2}（{{m_1}+{m_3}}）v_共^2$ ⑥
聯(lián)立④⑤⑥得 ${μ_1}=\frac{1}{3}$
（Ⅱ）若μ不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，再被彈回到PQ之間，設(shè)滑塊恰好回到小車的左端P點(diǎn)處，由能量轉(zhuǎn)化與守恒有
  $2{μ_2}{m_1}gL=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2-\frac{1}{2}（{{m_1}+{m_3}}）v_共^2$ ⑦
④⑤⑦得   ${μ_2}=\frac{1}{6}$
綜上所述，得$\frac{1}{6}≤μ＜\frac{1}{3}$
答：
（1）滑塊到達(dá)BC軌道上時的速度大小為4m/s．
（2）滑塊與小球碰后瞬間小球的速度大小為6m/s．
（3）滑塊與PQ之間的動摩擦因數(shù)μ應(yīng)為$\frac{1}{6}≤μ＜\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題運(yùn)動過程復(fù)雜，分析清楚物體運(yùn)動過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、動量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．