Question

10．如圖所示，水平面上固定一個(gè)傾角為θ=37°的足夠長(zhǎng)斜面，斜面頂端有一光滑的輕質(zhì)定滑輪，跨過(guò)定滑輪的輕細(xì)繩兩端分別連接物塊A和B（兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)），其中物塊A的質(zhì)量為m_A=0.8kg，物塊B的質(zhì)量為m_B=1.2kg．一輕質(zhì)彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)上端位于斜面上的C點(diǎn)．初始時(shí)物塊A到C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)=0.5m．現(xiàn)給A、B一大小為v₀=3m/s的初速度使A開始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，B向上運(yùn)動(dòng)．若物塊B始終未到達(dá)斜面頂端，物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)．
（1）試求物塊A向下剛運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）若彈簧的最大壓縮量為△x=0.2m，試求彈簧的最大彈性勢(shì)能E_pm；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若物塊B剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)離水平面的高度h=0.6m，求當(dāng)物塊B落 地后，物塊A能夠上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）A下滑到C的過(guò)程，對(duì)AB組成的系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)能定理求物塊A向下剛運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）當(dāng)彈簧的壓縮量最大時(shí)，A、B的速度均為零，對(duì)兩個(gè)物體及彈簧組成的系統(tǒng)，運(yùn)用能量守恒定律求彈簧的最大彈性勢(shì)能E_pm；
（3）物體A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后再沿斜面向上運(yùn)動(dòng)．在從物體A開始運(yùn)動(dòng)到A、B返回原處的過(guò)程中，只有摩擦力做功不為零，由動(dòng)能定理求得AB返回原處時(shí)的速度大�。�再運(yùn)用動(dòng)能定理求出B剛落地時(shí)兩者的速度，之后A繼續(xù)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，再由動(dòng)能定理求得A上滑的距離，從而求得物塊A能夠上升的最大高度．

解答 解：（1）設(shè)物塊A向下剛運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，則由動(dòng)能定理得：
m_AgLsinθ-μm_Agcosθ•L-m_BgL=$\frac{1}{2}$$（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=$\sqrt{\frac{19}{5}}$m/s
（2）當(dāng)彈簧的壓縮量達(dá)到最大時(shí)，此時(shí)物塊A、B的速度均為零，對(duì)兩個(gè)物體及彈簧組成的系統(tǒng)，運(yùn)用能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{0}^{2}$+m_Ag（L+△x）sinθ=μm_Agcosθ•（L+△x）+m_Bg（L+△x）+E_pm．
代入數(shù)據(jù)解得：E_pm=1.72J
（3）由題意可知，物塊A沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后再沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，在從物塊A開始運(yùn)動(dòng)到A、B返回原處的過(guò)程中，只有摩擦力做功不為零，設(shè)A、B返回原處時(shí)的速度大小為v′，由動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）v{′}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{0}^{2}$=-μm_Agcosθ•2（L+△x）
此后物塊A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊B剛剛到達(dá)地面時(shí)的速度大小為v″，則由動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）v{″}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）v{′}^{2}$=m_Bgh-m_Aghsinθ-μm_Agcosθ•h
之后物塊A上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，不再受繩子的拉力作用，設(shè)物塊A能夠上升的最大高度為H，由動(dòng)能定理得：
-m_AgH-μm_Agcosθ•$\frac{H}{sinθ}$=0-$\frac{1}{2}{m}_{A}v{″}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：H=0.2076m
答：（1）物塊A向下剛運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{\frac{19}{5}}$m/s；
（2）若彈簧的最大壓縮量為△x=0.2m，彈簧的最大彈性勢(shì)能E_pm是1.72J；
（3）當(dāng)物塊B落 地后，物塊A能夠上升的最大高度是0.2076m．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過(guò)程問(wèn)題，按時(shí)間順序進(jìn)行分析受力情況和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，分段運(yùn)用動(dòng)能定理．要注意滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)．