Question

4．為了對(duì)火星及周圍空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國(guó)在2011年11月發(fā)射了第一顆火星探測(cè)器螢火一號(hào)，假設(shè)探測(cè)器在離火星表面高度分別為h和3h的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T和2$\sqrt{2}$T，火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星自轉(zhuǎn)的影響，萬(wàn)有引力常量為G．僅利用以上數(shù)據(jù)，求：
（1）火星的半徑R和火星的質(zhì)量M；
（2）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期，聯(lián)立方程組求出火星的半徑和火星的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出火星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）探測(cè)器繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$，
$G\frac{Mm}{（R+3h）^{2}}=m（R+3h）（\frac{2π}{2\sqrt{2}T}）^{2}$，
由以上兩式可得：
R=h
M=$\frac{32{π}^{2}g{h}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）設(shè)火星的第一宇宙速度為v，則有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
則第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{4\sqrt{2}πh}{T}$．
答：（1）火星的半徑R為h，火星的質(zhì)量M為$\frac{32{π}^{2}g{h}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）火星的第一宇宙速度為$\frac{4\sqrt{2}πh}{T}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，知道第一宇宙速度等于貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度．