Question

15．如圖所示，半徑為R的光滑圓弧軌道ABC固定在豎直平面內，O是圓心，OC豎直，OA水平，B是最低點，A點緊靠一足夠長的平臺MN，D點位于A點正上方，DA距離為有限值．現(xiàn)于D點無初速度釋放一個大小可以忽略的小球，在A點進入圓弧軌道，從C點飛出后做平拋運動并落在平臺MN上，P點是小球落在MN之前軌跡上緊鄰MN的一點，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　�。�

• A． 只要D點的高度合適，小球可以落在平臺MN上任意一點
• B． 小球從A運動到B的過程中，重力的功率一直增大
• C． 小球由D經(jīng)A，B，C到P的過程中，其在D點的機械能大于P點的機械能
• D． 如果DA距離為h，則小球經(jīng)過B點時對軌道的壓力為3mg+$\frac{2mgh}{R}$

Answer 1

分析 根據(jù)小球恰好通過C點時的速度，求小球離開C點后平拋運動的最小距離．采用特殊位置法分析小球從A運動到B的過程中，重力的功率如何變化．在小球運動的過程中，只有重力做功，遵守機械能守恒定律．根據(jù)機械能守恒定律求出小球到達B點時的速度，再由牛頓運動定律求小球對軌道的壓力．

解答 解：A、小球恰好通過C點時，有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$
小球離開C點后做平拋運動，由R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，平拋運動的水平距離最小值 x=v_Ct=$\sqrt{2}$R，所以小球只有落在平臺MN上距M點距離為（$\sqrt{2}$-1）R的右側位置上，故A錯誤．
B、小球從A運動到B的過程中，在B點，重力與速度垂直，重力的瞬時功率為0，所以小球到達B點前重力的功率在減小，故B錯誤．
C、小球由D經(jīng)A，B，C到P的過程中，只有重力做功，機械能守恒，則其在D點的機械能等于P點的機械能，故C錯誤．
D、小球從D運動到B的過程中，由機械能守恒得
   mg（h+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 N=3mg+$\frac{2mgh}{R}$
由牛頓第三定律得知，小球經(jīng)過B點時對軌道的壓力 N′=N=3mg+$\frac{2mgh}{R}$．故D正確．
故選：D

點評 本題要把握C點的臨界速度的求法，知道小球通過C點后水平位移有最小值，運用機械能守恒定律和牛頓定律結合是求圓周運動中物體受力情況常用的思路．