Question

8．如圖所示，傾角為θ的光滑傾斜軌道在最底端與一半徑為r的光滑半圓弧軌通過(guò)極短的一小段光滑曲軌道平滑連接，使半圓軌道的最高點(diǎn)、圓心、最低點(diǎn)在同一豎直線上，讓一小球從傾斜軌道上某一位置由靜止釋放，沿傾斜軌道和半圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)圓弧的頂點(diǎn)水平拋出，試判斷小球有沒(méi)有可能垂直落在斜面上，若能，斜面傾角應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過(guò)圓弧最高點(diǎn)的最小速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系求出斜面傾角θ應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

解答 解：設(shè)小球從圓弧頂點(diǎn)以速度v₀拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間t秒垂直落在斜面上，斜面的傾角為θ．如圖所示
小球能通過(guò)最高點(diǎn)，則需滿(mǎn)足：${v_0}≥\sqrt{gr}$
到達(dá)斜面時(shí)，滿(mǎn)足：$cotθ=\frac{gt}{v_0}$
所以：$t=\frac{{{v_0}cotθ}}{g}$
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t^2}=\frac{{v_0^2{{cot}^2}θ}}{2g}$
水平方向：$x={v_0}ttanθ={v_0}tanθ•\frac{{{v_0}cotθ}}{g}=\frac{v_0^2}{g}$
又：x+y=2r 
 聯(lián)立得：$\frac{v_0^2}{g}+\frac{{v_0^2{{cot}^2}θ}}{2g}=2r$；$v_0^2=\frac{4gr}{{2+{{cot}^2}θ}}≥gr$或 $v_0^2=\frac{{4grta{n^2}θ}}{{2{{tan}^2}θ+1}}≥gr$
考慮到：4≥2+cot²θ
即：$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以，當(dāng)斜面θ角滿(mǎn)足$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，其設(shè)計(jì)是可行的．
答：通過(guò)以上的分析可知，如果他的想法可行，則斜面傾角θ應(yīng)滿(mǎn)足的條件為$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源和平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．