Question

17．如圖所示，宇宙飛船進(jìn)入返回軌道前，在圓軌道Ⅰ上繞地球飛行，去軌道半徑為地球半徑的k倍（k＞1）．當(dāng)飛船通過軌道Ⅰ的A點(diǎn)時，飛船上的動力裝置短暫工作，使飛船減速后沿返回軌道Ⅱ（橢圓軌道）運(yùn)動，其近地點(diǎn)B到地心的距離近似為地球半徑R．以上過程中飛船的質(zhì)量均可視為不變，已知地球表面的重力加速度為g．
（1）求飛船在軌道Ⅰ運(yùn)動的速度大小；
（2）質(zhì)量為m的飛船與地心的距離為r時引力勢能可表示為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，式中G為引力常量，M為地球質(zhì)量．在飛船沿軌道Ⅱ運(yùn)動的過程中，其動能和引力勢能之和保持不變，且A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比．請計算飛船經(jīng)過B點(diǎn)時的速度大小（結(jié)果用k、g、R表示）．

Answer 1

分析 （1）飛船在軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力等于向心力列式；在地面，根據(jù)重力等于萬有引力列式；最后聯(lián)立求解即可．
（2）飛船沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動過程中，通過A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比，結(jié)合能量守恒計算飛船在B點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，當(dāng)飛船與探測器一起繞地球做圓周運(yùn)動時的速度為v₀
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{（KR）^{2}}$=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{KR}$
對于地面附近的質(zhì)量為m的物體有：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{gR}{K}}$
（2）設(shè)飛船在軌道Ⅱ運(yùn)動時過A，B點(diǎn)的
速度為v_A，v_B，由機(jī)械能守恒可得：$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=-\frac{GMm}{KR}+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
                   根據(jù)題意得：v_AKR=v_BRK 
                       又由：GM=gR²
 聯(lián)立以上各式可得：v_B=$\sqrt{\frac{2kgR}{k+1}}$
答（1）求飛船在軌道Ⅰ運(yùn)動的速度大小為$\sqrt{\frac{gR}{K}}$
（2）飛船經(jīng)過B點(diǎn)時的速度大小為$\sqrt{\frac{2kgR}{k+1}}$

點(diǎn)評 明確萬有引力提供向心力，結(jié)合在地表重力等于萬有引力求解；探測器飛行過程中動能和勢能之和守恒，根據(jù)守恒定律列式求解即可．