Question

19．如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間的距離為L(zhǎng)，已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常數(shù)為G．
（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期為T(mén)₁．但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得運(yùn)行周期記為T(mén)₂．已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×10²⁴kg和7.35×10²²kg．求T₁與T₂兩者平方之比（結(jié)果保留三位小數(shù)）．

Answer 1

分析 這是一個(gè)雙星的問(wèn)題，A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．

解答 解：（1）A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則A和B的向心力大小相等，且A和B和O始終共線，說(shuō)明A和B有相同的角速度和周期，因此有：$m{ω}_{\;}^{2}r=M{ω}_{\;}^{2}R，r+R=L$
聯(lián)立解得：$R=\frac{m}{m+M}L，r=\frac{M}{m+M}L$
對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：$G\frac{Mm}{{L}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}•\frac{M}{m+M}L$
化簡(jiǎn)得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
（2）將地月看成雙星，由（1）得${T}_{1}^{\;}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：$G\frac{Mm}{{L}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}L$
化簡(jiǎn)得：${T}_{2}^{\;}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{GM}}$
所以?xún)煞N周期的平方比值為$（\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}$=$\frac{M+m}{M}$=$\frac{5.98×1{0}_{\;}^{24}+7.35×1{0}_{\;}^{22}}{5.98×1{0}_{\;}^{24}}=1.012$
答：（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$；
（2）T₁與T₂兩者平方之比1.012

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于雙星問(wèn)題，我們要抓住它的特點(diǎn)，即兩星球的萬(wàn)有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期．