Question

10．一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為q（負(fù)電）的小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）從坐標(biāo)原點(diǎn)O以沿x軸負(fù)方向的速度v₀開始運(yùn)動(dòng)，在第一象限存在水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$．第二象限存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，大小E₂=$\frac{mg}{q}$，和垂直紙面向里的長方形有界磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B（圖中未畫出），坐標(biāo)原點(diǎn)O在磁場中，小球通過y軸上的M點(diǎn)進(jìn)入第一象限恰好做減速直線運(yùn)動(dòng)（重力加速度g，電場區(qū)域足夠大）．O、M兩點(diǎn)距離為L．
求：
（1）v₀=？
（2）長方形區(qū)域磁場的最小面積，
（3）小球從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)到速度減到零所需時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由運(yùn)動(dòng)軌跡確定圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛倫茲力提供向心力確定速度．
（2）由圓的軌跡圖確定臨界值，確定面積．
（3）分過程求解出每段的時(shí)間，再求時(shí)間之和．

解答 解：（1）設(shè)在M點(diǎn)速度與y軸夾角為α
在第一象限做直線運(yùn)動(dòng)，有tanα=$\frac{q{E}_{1}}{mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
在第二象限，mg=qE₂，小球在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
幾何關(guān)系可知，L=3r
由以上得：
${v}_{0}=\frac{qBL}{3m}$
（2）如圖所示長方形區(qū)域磁場面積最小，即長方形的長和寬均與圓相切
S=r（r+$\frac{1}{2}r）$=$\frac{{L}^{2}}{6}$

（3）在第二象限
磁場中：${t}_{1}=\frac{120°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$
出磁場后：${t}_{2}=\frac{\sqrt{3}r}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
在第一象限
$\frac{mg}{cos30°}=ma$得 a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}g$
${t}_{3}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{\sqrt{3}qBL}{6mg}$  
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πm}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}+\frac{\sqrt{3}qBL}{6mg}$
答：（1）v₀為$\frac{qBL}{3m}$
（2）長方形區(qū)域磁場的最小面積為$\frac{{L}^{2}}{6}$，
（3）小球從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)到速度減到零所需時(shí)間$\frac{2πm}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}+\frac{\sqrt{3}qBL}{6mg}$

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的類型，根據(jù)小球的運(yùn)動(dòng)情況，分析其受力情況是解決本題的關(guān)鍵，考查綜合運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的能力