Question

8．經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”，“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個(gè)恒星的直徑遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體．如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，質(zhì)量之比為m₁：m₂=3：1．則可知（　�。�

• A． m₁：m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為3：1
• B． m₁：m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為1：3
• C． m₁做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{L}{3}$
• D． 雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{GT^2}$

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．對(duì)兩顆星分別運(yùn)用牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式，即可進(jìn)行求解．

解答 解：A、雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，角速度相等，故${m}_{1}^{\;}$與${m}_{2}^{\;}$的角速度之比為1：1，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$，得${m}_{1}^{\;}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}$，即$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{1}{3}$，根據(jù)v=ωr得$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{1}{3}$，故B正確；
C、$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{1}{3}$，${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$解得：${r}_{1}^{\;}=\frac{L}{4}$，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
解得：$G{m}_{2}^{\;}={ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}$
$G{m}_{1}^{\;}={ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
得$G{m}_{總}(cāng)^{\;}={ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}$
解得：${m}_{總}(cāng)^{\;}=\frac{{ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G}=\frac{（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會(huì)用萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行求解．