Question

6．如圖1所示，質量為M=2kg的長木板，靜止放置在粗糙水平地面上，木板上F、G為木板的兩個三等分點．F、G之間貼有上表面光滑的膠紙（厚度不計）．有一個質量為m=3kg、可視為質點的物塊，以某一水平初速度v₀從左端沖上木板物塊在木板上滑動，當物塊剛好滑上膠紙時，物塊和木板恰好達到共同速度．物塊和木板在達到共同速度前的v-t圖象如圖2所示．根據(jù)圖象，求：

（1）求木板的長度．
（2）求物體與木板間的摩擦因數(shù)和地面與木板間的摩擦因數(shù)．
（3）此后物塊和木板繼續(xù)滑動，直到兩物體都停止．問此時物體所停處距木板右端的距離？
（4）整個過程中木板的位移是多少？

Answer 1

分析 （1）圖中三角形面積為EF長度，由此求解木板的長度；
（2）根據(jù)圖線斜率表示的物理意義以及能夠第二定律求解摩擦因數(shù)；
（3）分別求出物塊在EF段、FG段、GH段相對于木板的位移，最后分析距離右端的距離；
（4）分別求出物塊在EF段、FG段、GH段以及二者共同減速運動的位移之和即可．

解答 解：（1）設木板的長度為L，則EF的長度為$\frac{L}{3}$，根據(jù)圖2可知EF為圖中△OAB的面積，如圖，
所以有：$\frac{L}{3}=\frac{1}{2}×10×4m=20m$，
所以木板的長度為L=60m；
（2）設物體與木板間的摩擦因數(shù)為μ₁，地面與木板間的摩擦因數(shù)為μ₂．
物塊減速的加速度大小即為AB段的斜率，所以${a}_{1}=\frac{△{v}_{1}}{△{v}_{2}}=\frac{6}{4}=1.5m/{s}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律可得：${a}_{1}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}$，
解得μ₁=0.15；
木板加速運動的加速度即為圖中OA段的斜率，即：${a}_{2}=\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}=\frac{4}{4}=1m/{s}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律可得：${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（m+M）g}{M}$，
代入數(shù)據(jù)解得：μ₂=0.02；
（3）物塊在FG間運動時，木板減速運動的加速度大小為：${a}_{3}=\frac{{μ}_{2}（m+M）g}{M}=0.5m/{s}^{2}$，
當木板上的減速到零經(jīng)過的時間為：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{3}}=\frac{4}{0.5}s=8s$，
此段時間內物塊相對于地面的位移：s₁=vt₁=4×8m=32m，
木板相對于地面的位移x₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}=\frac{4}{2}×8m=16m$，
此過程中物塊相對于木板的位移：△L=s₁-x₁=32-16=16m＜20m，
所以木板靜止時物塊還在FG上勻速運動；
當物塊滑上GH段時，二者的加速度與開始相同，設經(jīng)過t₂時間二者共速，則：
v-a₁t₂=a₂t₂，解得：t₂=1.6s；
共同速度為：v′=a₂t₂=1.6m/s；
此過程中物塊的位移s₂=$\frac{v+v′}{2}{t}_{2}=\frac{4+1.6}{2}×1.6m=4.48m$，
木板的位移x₂=$\frac{v′}{2}{t}_{2}=\frac{1.6}{2}×1.6m=1.28m$，
此后二者保持相對靜止，勻減速運動到零，
所以物體所停處到木板右端的距離為：$△L′=\frac{L}{3}-（{s}_{2}-{x}_{2}）=20-（4.48-1.28）=16.8m$；
（4）共速后二者減速運動的加速度為：${a}_{4}={μ}_{2}g=0.2m/{s}^{2}$，
減速位移x₃=$\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{4}}=\frac{1．{6}^{2}}{2×0.2}=6.4m$，
物塊在EF段運動時，木板相對于地面的位移為x0=$\frac{v}{2}{t}_{0}=\frac{4}{2}×4=8m$，
所以整個過程中木板的位移是x=x₀+x₁+x₂+x₃=8+16+1.28+6.4=31.68m．
答：（1）木板的長度60m；
（2）物體與木板間的摩擦因數(shù)為0.15，地面與木板間的摩擦因數(shù)為0.02；
（3）此后物塊和木板繼續(xù)滑動，直到兩物體都停止，此時物體所停處距木板右端的距離為16.8m；
（4）整個過程中木板的位移是31.68m．

點評 對于牛頓第二定律的綜合應用問題，關鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學的計算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學和運動學的橋梁；解答本題要弄清楚物體和木板的受力情況以及運動情況．