Question

15．1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U，加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t；
（3）近年來(lái)，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合．例如由直線加速器做為預(yù)加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量．n個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增大的金屬圓筒和一個(gè)靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫出了六個(gè)圓筒，作為示意）．各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端．整個(gè)裝置放在高真空容器中．圓筒的兩底面中心開有小孔．現(xiàn)有一電量為q、質(zhì)量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場(chǎng)力的作用而加速（設(shè)圓筒內(nèi)部沒有電場(chǎng)）．縫隙的寬度很小，離子穿過(guò)縫隙的時(shí)間可以不計(jì)．已知離子進(jìn)入第一個(gè)圓筒左端的速度為v₁，且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒間的電勢(shì)差φ₁-φ₂=-U．為了使離子以最短時(shí)間打到靶上且獲得最大能量，金屬圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量．

Answer 1

分析 （1）電場(chǎng)力時(shí)粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理求得速度，洛倫茲力提供粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力即可求得半徑；
（2）根據(jù)$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$求得粒子射出時(shí)具有的最大動(dòng)能，所具有的動(dòng)能為粒子在電場(chǎng)中的加速獲得的，根據(jù)加速次數(shù)即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）由動(dòng)能定理可以求出筒的長(zhǎng)度與粒子獲得的動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的速度為v₁，半徑為r₁．$qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
qv₁B=$m\frac{v_1^2}{r_1}$
解得：${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑${r_2}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m•2U}{q}}$
則$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周，被電場(chǎng)加速兩次．設(shè)粒子到出口處被加速了n次．nUq=$\frac{1}{2}mv_m^2$
qv_mB=$m\frac{v_m^2}{R}$
解得：$n=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2mU}$
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間$t=\frac{n}{2}T=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
（3）為了使離子以最短時(shí)間打到靶上且獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時(shí)，前一個(gè)圓筒的電勢(shì)比后一個(gè)圓筒的電勢(shì)高U，穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間恰好等于交流電的半個(gè)周期．由于圓筒內(nèi)無(wú)電場(chǎng)，離子在筒內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)v_n為離子在第n個(gè)圓筒內(nèi)的速度，則第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度${L_n}={v_n}•\frac{T}{2}=\frac{v_n}{2f}$
$（n-1）qU=\frac{1}{2}m{v_n}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
${v_n}=\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$
第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足的條件為${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$（n=1，2，3，…）
離子打到靶上的能量${E_{km}}=（n-1）qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$（n=1，2，3，…）
答：1）粒子第1次和第2次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比1：$\sqrt{2}$；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t為$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$；
（3）金屬圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$（n=1，2，3，…）
這種情況下打到靶上的離子的能量${E_{km}}=（n-1）qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 回旋加速器中的電場(chǎng)起加速作用，磁場(chǎng)起偏轉(zhuǎn)作用；電場(chǎng)的周期應(yīng)與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等．