Question

11．如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個直線加速器均由k個長度逐個增長的金屬圓筒組成（整個裝置處于真空中，力中只畫出了6個圓筒，作為示意）它們沿中心軸線排列成一串，各個圓筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端．設金屬圓筒內(nèi)部沒有電場，且每個圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過縫隙的時間可忽略不計．為達到最佳加速效果，應當調節(jié)至粒子穿過每個圓筒的時間恰為交流電的半個周期，粒子每次通過圓筒間縫隙時，都恰為交流電壓的峰值．
質量為m、電荷量為e的正、負電子分別經(jīng)過直線加速器加速后，從左、右兩側被導入裝置送入位于水平面內(nèi)的圓環(huán)形真空管道，且被導入的速度方向與圓環(huán)形管道中粗虛線相切．在管道內(nèi)控制電子轉彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃…A_n，共n個，均勻分布在整個圓周上（圖中只示意性地用細實線和細虛線了幾個），每個電磁鐵內(nèi)的磁場都是磁感應強度和方向均相同的勻強磁場，磁場區(qū)域都是直徑為d的圓形．改變電磁鐵內(nèi)電流的大小，就可改變磁場的磁感應強度，從而改變電子偏轉的角度．經(jīng)過精確的調整，可使電子在環(huán)形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運動，這時電子經(jīng)過每個電磁鐵時射入點和射出點都在電磁鐵的一條直徑的兩端，如圖（乙）所示．這就為實現(xiàn)正、負電子的對撞作好了準備．
（1）若正電子進入第一個圓筒的開口時的速度為v₀，且此時第一、二兩個圓筒的電勢差為U，正電子進入第二個圓筒時的速率多大？
（2）正、負電子對撞時的速度多大？
（3）為使正電子進入圓形磁場時獲得最大動能，各個圓筒的長度應滿足什么條件？
（4）正電子通過一個圓形磁場所用的時間是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在加速場中的運動，運用動能定理解決即可；
（2）帶電粒子在加速場中的多級加速，可對整個過程運用動能定理求解；
（3）仍然是帶電粒子在加速場中的多級加速過程，整個過程運用動能定理，去求解第N個圓筒的長度所滿足的表達式；
（4）洛倫茲力提供向心力，與幾何關系結合，根據(jù)周期公式，結合電子在通過每一個圓形磁場所轉過的圓心角，即可求出粒子在每一個磁場中運動的時間．

解答 解：
（1）設正電子進入第二個圓筒時的速率為v₁，根據(jù)動能定理
        eU=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₀²
        解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2eU}{m}}$
（2）正負電子對撞時的動能等于進入第k個圓筒時的動能E_k，根據(jù)動能定理：
       （k-1）eU=$\frac{1}{2}$mv_k²-$\frac{1}{2}$mv₀²
        解得：v_k=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}$
（3）設正電子進入第N個圓筒的速率為v_N-1，第N個圓筒的長度為L_N，則：
        L_N=v_N-1$\frac{T}{2}$=$\frac{{v}_{N-1}}{2f}$
        根據(jù)動能定理（N-1）eU=$\frac{1}{2}$m${v}_{N-1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
        第N個圓筒的長度應滿足的條件是：
        L_N=$\frac{1}{2f}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（N-1）eU}{m}}$   （N=1，2，3…k）
（4）設電子經(jīng)過1個電磁鐵的圓形磁場區(qū)過程中偏轉角度為θ，則θ=$\frac{2π}{n}$，
        由圖可知，電子射入勻強磁場區(qū)時的速度與通過射入點的磁場直徑夾角為$\frac{θ}{2}$，
        電子在磁場區(qū)內(nèi)做圓周運動，洛倫茲力提供向心力：
        ev_kB=m$\frac{{v}_{k}^{2}}{R}$      R=$\frac{{mv}_{k}}{eB}$
        根據(jù)幾何關系：sin$\frac{θ}{2}$=$\fracwwue6cl{2R}$
        解得：B=$\frac{2{mv}_{k}sin\frac{π}{n}}{de}$
        設正電子經(jīng)過一個圓形磁場所用的時間是t，則t=$\frac{θ}{2π}$T
        T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{eB}$
        所以：t=$\frac{πd}{2sin\frac{π}{n}\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}}$
答：（1）正電子進入第二個圓筒時的速率為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2eU}{m}}$；
      （2）正、負電子對撞時的速度為v_k=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}$；
      （3）為使正電子進入圓形磁場時獲得最大動能，各個圓筒的長度L_N應滿足L_N=$\frac{1}{2f}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（N-1）eU}{m}}$   （N=1，2，3…k）；
      （4）正電子通過一個圓形磁場所用的時間t=$\frac{πd}{2sin\frac{π}{n}\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}}$．

點評 本題過程較為復雜，但每個過程的難度都不大，考查帶電粒子在電場中的運動以及帶電粒子在磁場運動；題干較長，要求大家仔細分辨閱讀，找出有用的已知條件，建立物理模型．然后結合每一個過程的運動形式，選取相應的規(guī)律，對每一個過程進行分析求解．