Question

11．2014年10月8日，月全食帶來的“紅月亮”亮相天空，引起人們對月球的關(guān)注．我國發(fā)射的“嫦娥三號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．設(shè)衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運(yùn)動的周期為T．已知月球半徑為R，引力常量為G．試求：
（1）月球表面的重力加速度g的大小；
（2）如果在月球表面上發(fā)射一顆繞月衛(wèi)星，最小的發(fā)射速度是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力重力和萬有引力提供向心力求出月球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)重力提供向心力求出在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的最小速度．

解答 解：（1）在月球表面，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動，有：$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
聯(lián)立解得：g=$\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；                   
（2）根據(jù)重力提供向心力有：$mg=\frac{{m{v^2}}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{R{T^2}}}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度g的大小為$\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；      
（2）如果在月球表面上發(fā)射一顆繞月衛(wèi)星，最小的發(fā)射速度是$\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{R{T^2}}}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．