Question

5．如圖所示有一固定在豎直平面內(nèi)的軌道ABCD，AB段為表面光滑傾角為θ=30°的直軌道，BCD部分為內(nèi)表面粗糙的半圓軌道，B為半圓軌的最低點，D為最高點，軌道半徑為R．現(xiàn)在直軌道上某一位置靜止釋放一個質(zhì)量為m的小球，小球沿ABCD軌道運動，經(jīng)過B點時對軌道的壓力為7mg，從D點飛出后又落在AB軌道上，其落點與半圓軌的圓心O等高，忽略空氣阻力，求：
（1）釋放小球的位置距離B點的豎直高度
（2）小球沿BCD軌道從B點運動到D點過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）在B點，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求小球通過B點的速度，再由機械能守恒定律求釋放小球的位置距離B點的豎直高度．
（2）小球離開D點后做平拋運動，由分位移公式求出小球通過D點的速度，再由動能定理求克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）在B點，由牛頓第二定律得：
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
據(jù)題有 N=7mg
聯(lián)立解得 v_B=$\sqrt{6gR}$
對小球在直軌道上下滑的過程，由機械能守恒定律得
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 h=3R
（2）小球離開D點后做平拋運動，則有
  R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=v_Dt
由幾何知識得 x=Rtan60°
聯(lián)立以上三式解得 v_D=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
從B到D的過程，由動能定理得
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 W_f=$\frac{1}{4}$mgR
答：
（1）釋放小球的位置距離B點的豎直高度是3R．
（2）小球沿BCD軌道從B點運動到D點過程中克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{4}$mgR．

點評 該題的突破口是小球從圓軌道最高點D水平飛出，擊其落點與半圓軌的圓心O等高，運用平拋規(guī)律和幾何關系求出D點的速度．要知道運用動能定理是求摩擦力做功常用的方法．研究向心力時，一定要分析受力，確定向心力的來源．