Question

12．在太陽(yáng)系之外，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一顆適宜人類居住的類地行星，繞恒星橙矮星運(yùn)行，命名為“開普勒438b”．假設(shè)該行星與地球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，“開普勒438b”運(yùn)行的周期為地球運(yùn)行周期的p倍，橙矮星的質(zhì)量為太陽(yáng)的q倍． 則該行星軌道半徑與地球的軌道半徑之比為$\root{3}{{p}^{2}q}$，繞行線速度之比為$\root{3}{\frac{p}{q}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出周期、線速度與軌道半徑的關(guān)系，從而分析求解．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，因?yàn)殚_普勒438b”運(yùn)行的周期為地球運(yùn)行周期的p倍，橙矮星的質(zhì)量為太陽(yáng)的q倍，則該行星軌道半徑與地球的軌道半徑之比為$\root{3}{{p}^{2}q}$．
線速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因?yàn)槌劝�星的質(zhì)量為太陽(yáng)的q倍，該行星軌道半徑與地球的軌道半徑之比為$\root{3}{{p}^{2}q}$，則線速度之比為$\root{3}{\frac{p}{q}}$．
故答案為：$\root{3}{{{p^2}q}}$，$\root{3}{{\frac{p}{q}}}$；

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、周期與軌道半徑的關(guān)系，并能靈活運(yùn)用．