Question

11．如圖所示，斜面傾角為θ，在斜面底端垂直斜面固定一擋板，輕質彈簧一端固定在擋板上，質量為M=1.0kg的木板與輕彈簧接觸但不拴接，彈簧與斜面平行且為原長，在木板右上端放一質量為m=2.0kg的小金屬塊，金屬塊與木板間的動摩擦因數為μ₁=0.75，木板與斜面粗糙部分間的動摩擦因數為μ₂=0.25，系統處于靜止狀態(tài)．小金屬塊突然獲得一個大小為v₁=5.3m/s、方向平行斜面向下的速度，沿木板向下運動．當彈簧被壓縮x=0.5m到P點時，金屬塊與木板剛好達到相對靜止，且此后運動過程中，兩者一直沒有發(fā)生相對運動．設金屬塊從開始運動到與木塊達到相同速度共用時間t=0.75s，之后木板壓縮彈簧至最短，然后木板向上運動，彈簧彈開木板，彈簧始終處于彈性限度內，已知sinθ=0.28、cosθ=0.96（g取10m/s²）（結果保留兩位有效數字），求：
（1）求木板開始運動瞬間木板和小金屬塊的加速度；
（2）求彈簧被壓縮到P點時的彈性勢能是多少？
（3）假設木板在由P點壓縮彈簧到彈回到P點過程中不受斜面摩擦力作用，木板離開彈簧后沿斜面向上滑行的距離？

Answer 1

分析 （1）運用隔離法分別對金屬塊和長木板進行受力分析，根據牛頓第二定律求加速度；
（2）根據動能定理求得彈簧壓縮過程中做的功，再根據彈力做功與彈性勢能變化的關系求得彈簧的彈性勢能；
（3）根據能量轉化和守恒定律求得木板離開彈簧后的速度，再根據動能定理求得木板上滑的最大距離．

解答 解：（1）對金屬塊，由牛頓第二定律可知：μ₁mgcosθ-mgsin θ=ma         
解得：a=4.4 m/s²，沿斜面向上
木板受到金屬塊的滑動摩擦力F₁=μ₁mgcosθ=14.4 N，沿斜面向下
木板受到斜面的滑動摩擦力F₂=μ₂（M+m）gcosθ=7.2 N，沿斜面向上
木板開始運動瞬間的加速度a₀=$\frac{Mgsinθ+{F}_{1}-{F}_{2}}{M}$=10 m/s²，沿斜面向下
（2）設金屬塊和木板達到共同速度為v₂，對金屬塊，應用速度公式有
v₂=v₁-at=2.0 m/s
在此過程中分析木板，設彈簧對木板做功為W，其余力做功為Ma₀x，
對木板運用動能定理得：Ma₀x+W=$\frac{1}{2}$Mv₂²
解得W=-3.0 J，
說明此時彈簧的彈性勢能E_p=3.0 J
（3）從金屬塊和木板達到共速后壓縮彈簧到速度減小為0后反向彈回剛離開彈簧的整個過程，設彈簧恢復原長時木板和金屬塊的速度為v₃，在此過程中對木板和金屬塊整體來說，由能量的轉化和守恒得：
E_p-（F₂+Mgsinθ+mgsinθ）x=$\frac{1}{2}$（M+m）v₃²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²
木板離開彈簧后，設滑行距離為s，對整體由動能定理得：
-（M+m）g（μ₂cos θ+sin θ）s=0-$\frac{1}{2}$（M+m）v₃²    
解得：s=0.077 m
答：（1）木板開始運動瞬間木板的加速度大小為10 m/s²，方向沿斜面向下，小金屬塊的加速度大小為4.4 m/s²，方向沿斜面向上；
（2）彈簧被壓縮到P點時的彈性勢能是3.0 J；
（3）假設木板在由P點壓縮彈簧到彈回到P點過程中不受斜面摩擦力作用，木板離開彈簧后沿斜面向上滑行的距離為0.077m．

點評 在應用牛頓運動定律和運動學公式解決問題時，要注意運動過程的分析，此類問題，還要對整個運動進行分段處理．