Question

如圖所示，在x軸上方有水平向左的勻強(qiáng)電場E₁，在x軸下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場E₂，且E₁=E₂=5N/C，在圖中虛線（虛線與y軸負(fù)方向成45°角）的右側(cè)和x軸下方之間存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T．有一長L=5

2

m的不可伸長的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O'點(diǎn)，另一端拴有一質(zhì)量M=0.1kg、帶電量q=+0.2C的小球，小球可繞O'點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，OO'間距為L，與x軸正方向成45°角．先將小球放在O'正上方且繩恰好伸直的位置處由靜止釋放，當(dāng)小球進(jìn)入磁場前瞬間繩子繃斷．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的速度．
（2）細(xì)繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功．
（3）小球從進(jìn)入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上所用的時(shí)間及打在x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）小球由靜止釋放后，先沿電場力和重力的合力方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到繩子繃直，繃直瞬間，小球沿繩子方向的速度突然減為零，以垂直于繩子方向的速度進(jìn)入磁場．先由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出繩子繃緊前瞬間小球的速度，再將此速度分解得到垂直于繩子方向的分速度，由動(dòng)能定理求解進(jìn)入磁場時(shí)的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理研究繩繃緊過程，求出細(xì)繩對小球的彈力所做的功．
（3）小球進(jìn)入磁場后，由于qE₂=Mg，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出半徑和周期，根據(jù)圓心角，求出小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）小球先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到繩子繃直，設(shè)繩繃緊前瞬間速度為v，繩子剛繃緊后小球速度大小為v₂，進(jìn)入有磁場的區(qū)域時(shí)速度的大小為v₃，
則   v²=2ax    
而   F_合=

2

mg=ma
又小球運(yùn)動(dòng)的位移為  x=

2

L 
繩子繃緊后：v₂=vcos45°
由動(dòng)能定理：Mg?

2

2

L-qE₁（L-

2

2

L）=

1

2

M

v

2 3

-

1

2

M

v

2 2

聯(lián)立解得：v₃=10

2

m/s 
（2）設(shè)細(xì)繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功為W，根據(jù)動(dòng)能定理得
   W=

1

2

Mv

2 2

-

1

2

Mv2
解得，W=-5

2

J
（3）小球進(jìn)入磁場后，由于qE₂=Mg，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
  qv₃B=m

v 2 3

R

得 R=

Mv3

qB

=

5 2

2

m，T=

2πM

qB

=

π

2

s
小球在運(yùn)動(dòng)半周后以v₃出磁場，做勻速直線運(yùn)動(dòng)直到打到x軸上
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

2R

v3

，小球從進(jìn)入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間
t_總=t+

T

2

=(0.5+

π

4

)S=1.3s
小球打到x軸上的位置坐標(biāo)為（-10m，0）
答：
（1）小球剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的速度是10

2

m/s．
（2）細(xì)繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功是-5

2

J．
（3）球從進(jìn)入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上所用的時(shí)間是1.3s，打在x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為（-10m 0）．

點(diǎn)評：本題小球在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，與常規(guī)問題不同的地方是繩子繃緊瞬間小球的速度突變，沿繩子方向的速度立即減至零．