Question

4．如圖所示的空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種分界線，圖中虛線為磁場(chǎng)區(qū)的右邊界，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為-q的帶電粒子（不計(jì)重力），從電場(chǎng)中P點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-L，0），且L=$\frac{mvθ}{Eq}$．試求：
（1）要使帶電粒子能穿過磁場(chǎng)區(qū)而不再返回到電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足什么條件？
（2）要使帶電粒子恰好不能從右邊界穿出磁場(chǎng)區(qū)，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力的方向向上，粒子做的事類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做的是勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從而可以求得帶電粒子運(yùn)動(dòng)到Y(jié)軸上時(shí)的速度；當(dāng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與磁場(chǎng)的有邊沿相切時(shí)，此時(shí)的磁場(chǎng)的寬度最大，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡可以求得磁場(chǎng)的寬度最大值，然后確定磁場(chǎng)寬度范圍．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)右邊界相切時(shí)粒子恰好不能從右邊界穿出磁場(chǎng)，求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角，然后求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，
速度方向與y軸的夾角為θ，如圖所示，則：
水平方向：L=v₀t，
豎直方向：v_y=at=$\frac{qE}{m}$t，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
cosθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=45°；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的寬度應(yīng)滿足的條件為：d≤（1+cosθ）R
即：d≤$\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子恰好不從磁場(chǎng)右邊界穿出時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角：φ=180°-θ=180°-45°=135°，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{φ}{360°}$T=$\frac{3πm}{4qB}$；
答：（1）要使帶電粒子能穿過磁場(chǎng)區(qū)而不再返回到電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足的條件是：d≤$\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$；
（2）要使帶電粒子恰好不能從右邊界穿出磁場(chǎng)區(qū)，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{3πm}{4qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，考查了求磁場(chǎng)的寬度、求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題．