Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)的光滑四分之一圓弧軌道與水平傳送帶相切于B點(diǎn)，圓弧軌道的半徑為R，傳送帶的長(zhǎng)為2R，傳送帶上表面離地高也為R，傳送帶正以速度v=沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的物塊在圓弧軌道的上端A上方某高度處由靜止下落，剛好能從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，若物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為=0.5，重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，求：

(1)要使物塊不能從傳送帶的右端滑離，物塊從A點(diǎn)上方釋放的高度應(yīng)滿足什么條件?

(2)若物塊滑離傳送帶后落在地面上的位置離傳送帶右端C的水平距離為R，則物塊在B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力多大？

(3)若物塊滑上傳送帶后剛好不能從傳送帶右端滑離則此種情況下，物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的全過程中，傳送帶電動(dòng)機(jī)因?yàn)槲飰K在傳送帶上滑動(dòng)額外做的功為多少?

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） （3）

【解析】

（1）設(shè)當(dāng)物塊剛好不能從傳送帶的右端滑離時(shí)，物塊從A點(diǎn)上方釋放的高度為h，根據(jù)動(dòng)能定理，則有：mg（h+R）-μmg2R=0；
解得：h=0
即要使物塊不滑離傳送帶，物塊不能從A點(diǎn)上方任一位置釋放，只能從圓弧面上釋放；
（2）設(shè)物塊在C點(diǎn)的速度為vC，則R=vCt；
且R=gt2
設(shè)物塊在B點(diǎn)的速度為vB，物塊從B到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理，

μmg2R＝mvB2mvC2
解得：；
在B點(diǎn)，設(shè)圓弧軌道對(duì)物塊的支持力為F，根據(jù)牛頓第二定律，則有：F-mg=m；
解得：F=mg
根據(jù)牛頓第三定律，物塊在B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力為F′=F=mg
（3）如果物塊剛好能滑到傳送帶的右端，則物塊到達(dá)C端時(shí)，速度為零，物塊在B點(diǎn)速度為vB，則mvB2＝2μmgR，

解得：vB=
然后在摩擦力作用下，向左勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到v=與傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)；因電動(dòng)機(jī)額外做的功等于全過程中，皮帶克服摩擦力做的功，則有：

W=μmgvt=；