Question

如下圖甲所示，在以O為坐標原點的xOy平面內，存在著范圍足夠大的電場和磁場。一個帶正電小球在0時刻以v₀＝3gt₀的初速度從O點沿+x方向（水平向右）射入該空間，在t₀時刻該空間同時加上如下圖乙所示的電場和磁場，其中電場沿+y方向（豎直向上），場強大小，磁場垂直于xOy平面向外，磁感應強度大小。已知小球的質量為m，帶電量為q，時間單位t₀，當地重力加速度g，空氣阻力不計。試求：

（1）12t₀末小球速度的大小。

（2）在給定的xOy坐標系中，大體畫出小球在0到24t₀內運動軌跡的示意圖。

（3）30t₀內小球距x軸的最大距離。

Answer 1

【命題立意】本題考查帶電粒子在電磁場中運動。

【思路點撥】此題構思巧妙，很好地考查了帶電粒子在電磁場中運動的物理模型，對考生的審題能力、建模能力、分析綜合能力、運用數學知識解決物理問題的能力等都達到了理想的考查目的。

【答案】（1）gt₀；（2）如下圖所示；（3）

【解析】（1）0~t₀內，小球只受重力作用，做平拋運動。當同時加上電場和磁場時，電場力：F₁=qE₀=mg，方向向上（1分）因為重力和電場力恰好平衡，所以在電場和磁場同時存在時小球只受洛倫茲力而做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律有：（1分）

運動周期_，

聯立解得T＝2t₀（1分）

電場、磁場同時存在的時間正好是小球做圓周運動周期的5倍，即在這10t₀內，小球恰好做了5個完整的勻速圓周運動。所以小球在t₁=12 t₀時刻的速度相當于小球做平拋運動t＝2t₀時的末速度。

v_y1=g·2t₀=2gt₀（1分）所以12t₀末（1分）

（2）24t₀內運動軌跡的示意圖如右圖所示。（2分）

（3）分析可知，小球在30t₀時與24t₀時的位置相同，在24t₀內小球做了t₂=3t₀的平拋運動，和半個圓周運動。

23t₀末小球平拋運動的豎直分位移大小為：

（1分）豎直分速度v_y2=3gt₀（1分）

所以小球與豎直方向的夾角為θ＝45°，速度大小為（1分）

此后小球做勻速圓周運動的半徑（1分）

30t₀末小球距x軸的最大距離：＝（1分）