Question

6．如圖所示，某貨場需將質量為m₁=50kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現利用光滑傾斜軌道SP，豎直面內弧形光滑軌道PQ，使貨物由傾斜軌道頂端距底端高度h=4m處無初速度滑下，兩軌道相切于P，傾斜軌道與水平面夾角為θ=60°，弧形軌道半徑R=2m，末端切線水平．地面上緊靠軌道依次排放兩塊木板A、B，質量均為m₂=50kg，長度均為L=7m，木板上表面與軌道末端Q相切，貨物與木板間的動摩擦因數為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數μ₂=0.1．（不考慮貨物與各軌道相接處能量損失、最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達圓軌道末端Q點時對軌道的壓力．
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求μ₁應滿足的條件．
（3）若μ₁=0.50，求貨物從滑上木板A到貨物與木板B到達共同速度的過程中整個系統(tǒng)摩擦產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過程中，機械能守恒，根據機械能守恒可以得出到達底端時的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據牛頓第三定律可以得到貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小；
（2）貨物滑上木板A時，木板不動，說明此時貨物對木板的摩擦力小于地面對木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時，木板B開始滑動，說明此時貨物對木板的摩擦力大于了地面對貨物的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數的范圍．
（3）當μ₁=0.50時，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板做加速運動，貨物做的是勻減速直線運動，由勻變速直線運動的規(guī)律可以求得到達B的速度；貨物在B上運動的過程中，貨物繼續(xù)減速，而B繼續(xù)加速，由運動學的公式即可求出A相當于B靜止時的速度，最后由功能關系即可求出產生的熱量．

解答 解析：（1）設貨物滑到圓軌道末端時的速度為v₀，對貨物的下滑過程，根據機械能守恒定律得：
m₁g（h+R-Rcos60°）=$\frac{1}{2}$m₁v₀²…①
設貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據牛頓第二定律得：
F_N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$  …②
聯(lián)立①②式，代入數據得：v₀=10m/s
F_N=3000 N
根據牛頓第三定律，貨物對軌道的壓力大小為3000 N，方向豎直向下．
（2）若滑上木板A時，木板不動，由受力分析得：
μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…③
若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得：
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…④
聯(lián)立④⑤式，代入數據得：0.2＜μ₁≤0.3．
（3）當μ₁=0.50時，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板做加速運動．設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為a₁，
由牛頓第二定律得：μ₁m₁g=m₁a₁ …⑤
代入數據得：${a}_{1}=5m/{s}^{2}$ 
兩個木板在水平方向上的加速度a₂：2m₂a₂=μ₁m₁g-μ₂（m₁+2m₂）g    …⑥
代入數據得：${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
當貨物滑到木板A末端時：$（{v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}）-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$…⑦
代入數據得：t=1s
貨物的速度為v₁，由運動學公式得：v₁=v₀-a₁t=10-5×1=5m/s
木板的速度：v₂=a₂t=1×1=1m/s
滑上木板B時，貨物繼續(xù)減速，加速度不變；木板B繼續(xù)加速，
木板B做勻加速運動的加速度：a₃=$\frac{{μ}_{1}mg{-μ}_{2}（{{m}_{1}+m}_{2}）g}{{m}_{2}}$=3m/s²．
貨物與B速度相等時，v₁-a₁t′=v₂+a₃t′⑧
得：t′=0.5s
它們的速度：v=v₁-a₁t′=5-5×0.5=2.5m/s
貨物在B上滑動的過程中A在水平地面上做減速運動，加速度大�。�
${a}_{4}=\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g}{{m}_{2}}={μ}_{2}g=0.1×10=1m/{s}^{2}$
經過0.5s后A的速度：v₃=v₂-a₄t′=1-1×0.5=0.5m/s
由功能關系可知，貨物從滑上木板A到貨物與木板B到達共同速度的過程中整個系統(tǒng)摩擦產生的熱量等于系統(tǒng)損失的動能，即：
Q=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{3}^{2}$   ⑨
代入數據得：Q=2181.25J
答：（1）貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力是3000N；
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，μ₁應滿足的條件是0.2＜μ₁≤0.3；
（3）若μ₁=0.5，貨物從滑上木板A到貨物與木板B到達共同速度的過程中整個系統(tǒng)摩擦產生的熱量是2181.25J．

點評 本題考查了機械能守恒、圓周運動和牛頓運動定律的應用，特別需要注意的是貨物在水平面上運動時木板的運動狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運到到不同的地方時木板的受力不一樣．