Question

12．如圖所示為一傳送帶裝置模型，斜面的傾角θ，底端經(jīng)一長度可忽略的光滑圓弧與足夠長的水平傳送帶相連接，質(zhì)量m=2kg 的物體從高h(yuǎn)=30cm的斜面上由靜止開始下滑，它與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.25，與水平傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.5，物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間以后，物體又回到了斜面上，如此反復(fù)多次后最終停在斜面底端．已知傳送帶的速度恒為v=2.5m/s，tanθ=0.75，g取10m/s²．求：

（1）物體第一次滑到底端的速度大�。�
（2）從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中，求傳送帶與物體間摩擦產(chǎn)生的熱量Q．
（3）從物體開始下滑到最終停在斜面底端，物體在斜面上通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物體到達(dá)底端的速度．
（2）物塊滑上傳送帶后先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到零，然后反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出整個(gè)過程中的相對(duì)路程大小，結(jié)合Q=f△x求出摩擦產(chǎn)生的熱量．
（3）物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過程中，摩擦力做功為零，對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出物體在斜面上通過的總路程．

解答 解：（1）對(duì)物體從靜止開始第一次到達(dá)底端的過程，由動(dòng)能定理得：
    mgh-μ₁mgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv₀²-0
代入數(shù)據(jù)解得：物體第一次滑到底端的速度 v₀=2m/s
（2）物體滑上傳送帶后向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，所受的滑動(dòng)摩擦力大小為
 f=μ₂mg，加速度大小為 a=$\frac{f}{m}$=μ₂g=5m/s²．
到最右端的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=0.4s
物體返回到傳送帶左端時(shí)的時(shí)間也為t₁，因?yàn)榈谝淮挝矬w滑上傳送帶的速度小于傳送帶的速度，故物體回到傳送帶左端時(shí)的速度大小也為v₀．
物體向右勻減速運(yùn)動(dòng)的位移為：
  x₁=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{2}{2}$×0.4m=0.4m，
該段時(shí)間內(nèi)的傳送帶的位移為：x₂=vt₁=2.5×0.4m=1m
則相對(duì)路程的大小為：△x₁=x₁+x₂=1.4m，
返回的過程做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，傳送帶的位移為：x₃=vt₁=2.5×0.4=1m，
則相對(duì)位移大小為：△x₂=x₃-x₁=0.6m
相對(duì)總路程的大小為：△x=△x₁+△x₂=2m，
則由摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=μ₂mg△x=0.5×20×2J=20J．
（2）在傳送帶上摩擦力先做負(fù)功，再做正功，在傳送帶上摩擦力做功為零，對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理得：
mgh-μ₁mgscosθ=0
代入數(shù)據(jù)解得：s=1.5m．
答：
（1）物體第一次滑到底端的速度大小是2m/s．
（2）物體與傳送帶因摩擦產(chǎn)生的熱量為20J；
（3）物體在斜面上通過的總路程為1.5m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理進(jìn)行求解，知道物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過程中，摩擦力做功的代數(shù)和為零