Question

9．如圖所示，河道寬L=200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小滿足u=0.2x（x是離河岸的距離，0≤x≤$\frac{L}{2}$）．一小船在靜水中的速度v=10m/s，自A處出發(fā)，船頭垂直河岸方向渡河到達(dá)對(duì)岸B處．AB兩點(diǎn)間距離為200$\sqrt{2}$m．設(shè)船的運(yùn)動(dòng)方向與水流方向夾角為θ，則渡河過(guò)程中θ最小為arctan0.5．

Answer 1

分析 將船的運(yùn)動(dòng)分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度等于靜水速，根據(jù)河寬以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的時(shí)間．水流速與到河岸的最短距離x成正比，是成線性變化的，知水流速的平均速度等于$\fracj53fjzl{4}$處的水流速．根據(jù)平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，從而求出AB的直線距離，最后根據(jù)水流速度與距離的關(guān)系，得出在河中央處，水流速度，再結(jié)合三角知識(shí)，即可求解夾角的最小值．

解答 解：渡河的時(shí)間為：
t=$\fracl9dr9d5{{v}_{c}}$=$\frac{200}{10}$s=20s；
水流速的平均速度等于$\fracpftnn1v{4}$處的水流速．則有：
u=0.4×$\fracr5lp5nr{4}$=10m/s．
所以沿河岸方向上的位移為：
x=ut=200m．
所以AB的直線距離為：
s=$\sqrt{20{0}^{2}+20{0}^{2}}$m=200$\sqrt{2}$m；
船在靜水中速度是不變，而水流速度滿足u=0.2x（x是離河岸的距離，0≤x≤$\frac{L}{2}$），因x=vt，那么u=2t，因此到達(dá)河中央前小船加速度大小為2 m/s²，
當(dāng)?shù)竭_(dá)中央時(shí)，水流速度為：u=0.2x=0.2×100=20m/s，
由三角知識(shí)，則有：tanθ=$\frac{10}{20}$=0.5；
故答案為：200$\sqrt{2}$；arctan0.5

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，各分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性，互不影響．同時(shí)掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用．