Question

5．如圖所示，質(zhì)量M=1kg的木板靜置于傾角為37°的足夠長的固定斜面上的某個(gè)位置，質(zhì)量m=1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊以初速度v₀=5m/s從木板的下端沖上木板，同時(shí)在木板上端施加一個(gè)沿斜面向上的外力F=14N，使木板從靜止開始運(yùn)動，當(dāng)小物塊與木板共速時(shí)，撤去該外力，最終小物塊從木板的下端滑出．已知小物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為0.25，木板與斜面之間的動摩擦因數(shù)為0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）物塊和木板共速前，物塊和木板的加速度各為多少；
（2）木板的長度至少為多少？
（3）物塊在木板上運(yùn)動的總時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）小物塊沖上木塊后，分別對木塊和木板進(jìn)行受力分析，沿斜面方向上利用牛頓運(yùn)動定律列式，即可求得木塊m和木板M的加速度．
（2）小物塊剛沖上木板后，木塊做勻加速直線運(yùn)動，木板做勻加速直線運(yùn)動，先求得速度相同時(shí)所需要的時(shí)間，分別求出兩者的位移，位移之差的大小即為木板的長度．
（3）木板的運(yùn)動可分為兩個(gè)過程，一是向上加速度的過程，一是和木塊一起向上減速運(yùn)動的過程，分別求得這兩個(gè)過程的位移，即可求得木板M沿斜面向上位移的最大值．

解答 解：（1）小物塊沖上木板后，小物塊與木板之間的滑動摩擦力為：f=μ₁mgcosθ=0.25×1×10×0.8=2N，
對小物塊m有：ma₁=f+mgsinθ
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
對木板：Ma₂=F-Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ+f
代入數(shù)據(jù)得：a₂=2m/s²，方向沿斜面向上
（2）當(dāng)速度相等時(shí)，v₀-a₁t₁=v₁
0+a₂t₁=v₁
解得：t₁=0.5s
v₁=1m/s
所以，x_m1=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
x_M1=$\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
速度相等前的相對位移為：△s=x_m1-x_M1=$\frac{{v}_{0}t}{2}=1.25$m
撤去拉力F后，物塊相對于仍然木板向上運(yùn)動，所以加速度仍然是a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
而木板：Mgsinθ+μ₂（M+m）gcosθ-f=Ma₃
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{3}=12m/{s}^{2}$
方向沿斜面向下，做減速運(yùn)動
當(dāng)木板速度等于0后，由于Mgsinθ+μ₁mgcosθ＜μ₂（M+m）gcosθ，所以小物塊在木板上向上滑動時(shí)，木板靜止不動．
木板停止需要的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{1}{12}$s
小物塊的速度減小到0的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{8}$s
此過程中小物塊的位移：${x}_{m2}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{1}^{2}}{2×8}=\frac{1}{16}$m
木板的位移：${x}_{M2}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{{1}^{2}}{2×12}=\frac{1}{24}$m
相對位移：$△s′={x}_{m2}-{x}_{M2}=\frac{1}{16}-\frac{1}{24}=\frac{1}{48}$m
所以木板的長度最小為：$L=△s+△s′=1.25+\frac{1}{48}=\frac{61}{48}$m
（3）小物塊在木板上向下滑動時(shí)木板受到的重力沿斜面向下的分力與m對木板的摩擦力的和：
F_下=Mgsinθ+f=1×10×sin37°+2=8N
木板受到的斜面對木板的向上的摩擦力：F_f=μ₂（M+m）gcosθ=0.5×（1+1）×cos37°=8N
可知在小物塊在木板上向下滑動時(shí)木板將仍然波長靜止，產(chǎn)生物塊向下的加速度：
a₄=mgsinθ-μ₁mgcosθ
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{4}=4m/{s}^{2}$
物塊向下滑動到離開木板時(shí)：$L=\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{4}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${t}_{4}=\sqrt{\frac{61′}{96}}$s≈0.797s
所以物塊在木板上運(yùn)動的總時(shí)間：t=t₁+t₃+t₄=0.5+$\frac{1}{8}$+0.797=1.422s
答：（1）物塊和木板共速前，物塊和木板的加速度分別是8m/s²，方向沿斜面向下和2m/s²，方向沿斜面向上；
（2）木板的長度至少為$\frac{61}{48}$m；
（3）物塊在木板上運(yùn)動的總時(shí)間是1.422s．

點(diǎn)評 動力學(xué)的兩類基本問題：已知力求運(yùn)動，已知運(yùn)動求力．
①根據(jù)物體的受力情況，可由牛頓第二定律求出物體的加速度，再通過運(yùn)動學(xué)的規(guī)律確定物體的運(yùn)動情況；根據(jù)物體的運(yùn)動情況，可由運(yùn)動學(xué)公式求出物體的加速度，再通過牛頓第二定律確定物體所受的外力．
②分析這兩類問題的關(guān)鍵是抓住受力情況和運(yùn)動情況的橋梁--加速度．
應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律解題的一般步驟：
①認(rèn)真分析題意，明確已知條件和所求量；
②選取研究對象，所選取的研究對象可以是一個(gè)物體，也可以是幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，同一題，根據(jù)題意和解題需要也可先后選取不同的研究對象；
③分析研究對象的受力情況和運(yùn)動情況；
④當(dāng)研究對對象所受的外力不在一條直線上時(shí)；如果物體只受兩個(gè)力，可以用平行四力形定則求其合力；如果物體受力較多，一般把它們正交分解到兩個(gè)方向上，分別求合力；如果物體做直線運(yùn)動，一般把各個(gè)力分解到沿運(yùn)動方向和垂直運(yùn)動方向上；
⑤根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式列方程，物體所受外力，加速度、速度等都可以根據(jù)規(guī)定的正方向按正、負(fù)值代公式，按代數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算；
⑥求解方程，檢驗(yàn)結(jié)果，必要時(shí)對結(jié)果進(jìn)行討論．