Question

14．如圖所示，豎直面內(nèi)的軌道光滑絕緣，PQ水平，其中圓軌道的半徑為R=5m，空間被豎直線MN分割成兩部分．有一質(zhì)量m=0.04kg，帶電量為q=+2×10^-4C的小球，從斜軌上由靜止釋放，當(dāng)A球剛要進(jìn)入圓形軌道時(shí)，在MN右側(cè)空間加一范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球恰好在豎直平面內(nèi)做逆時(shí)針?lè)较騽蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向；
（2）若小球從斜面上距離水平軌道PQ高H=1.25m處由靜止釋放，剛要進(jìn)入圓形軌道時(shí)，所加的勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小變?yōu)镋=4×10³N/C，電場(chǎng)方向不變．判斷A球能否沿著軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，如果能說(shuō)明原因；若不能，求出A球撞擊軌道上的位置離水平軌道PQ的高度．

Answer 1

分析 （1）小球恰好在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，由此求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）假設(shè)小球剛好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，由重力和電場(chǎng)力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，由動(dòng)能定理求出小球從斜面下滑時(shí)的高度，再判斷小球能否沿著軌道做圓周運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）小球恰好在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，則
  mg=qE
可得 E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{0.04×10}{2×1{0}^{-4}}$=2000N/C，方向豎直向上．
（2）當(dāng)E=4×10³N/C，小球所受的電場(chǎng)力 F=qE=0.8N＞mg
設(shè)小球通過(guò)Q點(diǎn)的速度為v．根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}$mv²，得 v=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
設(shè)小球要能沿著軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)的最小速度為v₀，由牛頓第二定律得：
   qE-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 v₀=5$\sqrt{2}$m/s
由于v＜v₀，則小球進(jìn)入圓軌道后做類平拋運(yùn)動(dòng)，不能沿著軌道做圓周運(yùn)動(dòng)．
設(shè)A球撞擊軌道上的位置離水平軌道PQ的高度為y，離Q點(diǎn)的水平位移為x．
則小球的加速度為 a=$\frac{qE-mg}{m}$=$\frac{0.8-0.4}{0.04}$=10m/s²．
由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
   x=vt
   y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由幾何知識(shí)可得：R²=（y-R）²+x²；
解得 t=1s，y=5m
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小是2000N/C，方向豎直向上．
（2）A球撞擊軌道上的位置離水平軌道PQ的高度是5m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要正確分析小球的受力情況，分析等效最高點(diǎn)“Q”的臨界條件：電場(chǎng)力和重力的合力提供向心力，由動(dòng)力學(xué)的基本方法處理．