Question

13．小明站在水平地面上，手握不可伸長的細(xì)繩一端，細(xì)繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球．甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)繞O以半徑L做圓周運(yùn)動(dòng)．已知握繩的手離地面的高度為$\frac{5}{3}$L，細(xì)繩的拉力達(dá)到9mg時(shí)就會(huì)斷裂．逐漸增大球的速度，當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩斷裂，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力，求：
（1）繩斷裂時(shí)小球的速度大小v₁和小球落地時(shí)的速度v₂．
（2）小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離．
（3）控制手離地面的高度不變，減小繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷裂，要使球飛出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離是多少？

Answer 1

分析 （1）繩斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力達(dá)到最大值，根據(jù)在最低點(diǎn)，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出v₁．
繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出時(shí)間，根據(jù)速度的合成求出小球落地時(shí)的速度v₂．
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離．
（3）根據(jù)最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長的關(guān)系，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求出平拋運(yùn)動(dòng)水平位移的表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)方法二次函數(shù)求極值，求出l為多少時(shí)，x最大．

解答 解：（1）由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有：
  T_m-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
據(jù)此T_m=9mg
解得 v₁=2$\sqrt{2gL}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mg（$\frac{5}{3}$L-L）
解得 v₂=$\sqrt{\frac{28gL}{3}}$
（2）繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  $\frac{5}{3}$L-L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移 x=v₁t
解得 x=$\sqrt{\frac{32}{3}}$L
（3）設(shè)繩長為r，繩斷時(shí)球的速度為v．
有：T_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$．
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為$\frac{5}{3}$L-r，水平位移為x，時(shí)間為t．
有：$\frac{5}{3}$L-r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt．
得x=4 $\sqrt{\frac{5}{3}Lr-{r}^{2}}$
當(dāng)r=$\frac{5}{6}$L時(shí)，x有極大值，x_max=$\frac{10}{3}$L
答：
（1）繩斷裂時(shí)小球的速度大小v₁為2$\sqrt{2gL}$，小球落地時(shí)的速度v₂為$\sqrt{\frac{28gL}{3}}$．
（2）小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離是$\sqrt{\frac{32}{3}}$L．
（3）若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷裂，要使球飛出的水平距離最大，繩長應(yīng)為$\frac{5}{6}$L．最大水平距離是$\frac{10}{3}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源．