Question

14．嫦娥載玉兔登月成功后，某同學設計讓嫦娥從月球起飛返回地球，開始階段運行的軌道簡化為如圖所示：先將嫦娥發(fā)射至近月圓軌道1上，然后變軌到橢圓軌道2上，最后由軌道2變軌進入圓形軌道3，A點為1、2軌道切點，B點為2、3軌道切點，設月球半徑為R，3軌道半徑為3R，嫦娥在近月圓軌道1上周期為T，月球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略介質(zhì)阻力，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$
• B． 嫦娥在近月圓軌道1上的機械能大于在軌道3上的機械能
• C． 嫦娥在軌道3上的繞行速度大于在軌道1上的繞行速度
• D． 嫦娥從A點沿橢圓軌道到B點的時間為$\sqrt{2}$T

Answer 1

分析 月球表面物體的引力等于“重力”，得到月球質(zhì)量$\frac{g{R}^{2}}{G}$，除以體積得到月球密度．由萬有引力與所需向心力的關系可知由軌道1到軌道2進入軌道3需加速，使得萬有引力等于向心力，由開普勒定律確定周期，求得時間．

解答 解：A、月球表面物體的引力等于“重力”，得到月球質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，月球的體積為V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，則其密度為$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3g}{4πGR}$．則A正確
    B、由軌道1到軌道2要加速度，由軌道2支軌道3要加速度，則其機械能要增加，則B錯誤
    C、由萬有引力提供向心力得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，則半徑大的速度小，則C錯誤
　　D、因橢圓的半長軸為2R，由開普勒定律知：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}=\frac{T{′}^{2}}{（2R）^{3}}$ 得T′=2$\sqrt{2}$T，則由A到B歷時$\frac{T′}{2}$=$\sqrt{2}$T，則D正確
故選：AD

點評 解決本題的關鍵掌握衛(wèi)星的變軌的原理，通過比較軌道半徑比較運動線速度、周期等．