Question

5．如圖所示，在豎直平面直角坐標(biāo)中分布著方向水平沿x軸負(fù)向的勻強電場，電場強度E=$\sqrt{3}$$\frac{mg}{q}$有一質(zhì)量為m，電荷為+q的帶電小球從坐標(biāo)原點處以速度v₀射入，入射方向與x軸正方向夾角為θ（0≤θ≤90°），已知重力加速度為g，求：
（1）若θ=90°，帶電小球再次經(jīng)過x軸的速度大小；
（2）調(diào)節(jié)入射角，當(dāng)θ為多少時，入射小球沿入射方向位移最大，最大值為多少；
（3）調(diào)節(jié)入射角，當(dāng)θ=60°時，求帶電小球運動過程中的最小動能．

Answer 1

分析 （1）若θ=90°時，帶電小球在電場力和重力作用下做勻變速曲線運動，可運用運動的分解法研究水平和豎直兩個方向的分運動，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合解答．
（2）當(dāng)合力沿小球入射方向的分力最小時，入射小球沿入射方向位移最大，由動能定理求最大位移．
（3）調(diào)節(jié)入射角，當(dāng)θ=60°時，小球做類似斜拋的運動，當(dāng)小球運動到等效最高點時動能最小，此時小球的速度與合力垂直，由分運動的速度公式求解．

解答 解：（1）若θ=90°，小球沿x軸負(fù)方向的分運動是初速度為零的勻加速直線運動，加速度大小 a₁=$\frac{qE}{m}$=$\sqrt{3}$g．豎直方向做豎直上拋運動，則小球從O到再次經(jīng)過x軸的時間為 t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$
帶電小球再次經(jīng)過x軸的速度大小為 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（at）^{2}}$=$\sqrt{13}{v}_{0}$
（2）設(shè)電場力和重力的合力為F，則 F=$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=2mg，設(shè)F與x軸負(fù)方向的夾角為α，則tanα=$\frac{mg}{qE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
當(dāng)合力沿小球入射方向的分力最小時，入射小球沿入射方向位移最大，此時θ=90°．
對入射方向運用動能定理得：-Fxsin30°=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得位移的最大值 x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
（3）當(dāng)θ=60°時，小球做類似斜拋的運動，當(dāng)小球運動到等效最高點時動能最小，此時小球的速度與合力垂直．
小球的加速度大小 a=$\frac{F}{m}$=2g
小球沿F反方向運動的最大位移為 y=$\frac{（{v}_{0}cos30°）^{2}}{2a}$=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16g}$
設(shè)最小動能為E_k，由動能定理得：E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-Fy
解得 E_k=$\frac{1}{8}m{v}_{0}^{2}$
答：
（1）若θ=90°，帶電小球再次經(jīng)過x軸的速度大小是$\sqrt{13}{v}_{0}$；
（2）調(diào)節(jié)入射角，當(dāng)θ為90°時，入射小球沿入射方向位移最大，最大值為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（3）調(diào)節(jié)入射角，當(dāng)θ=60°時，帶電小球運動過程中的最小動能是$\frac{1}{8}m{v}_{0}^{2}$．

點評 本題要抓住電場力和重力都是恒力，可以運用運動的分解法和動能定理結(jié)合處理，分解時兩個分運動的方向要靈活選擇，不能教條．