Question

14．如圖所示，將一個透明長方體放在空氣中，矩形ABCD是它的一個截面，已知一單色細光束從P點以入射角θ=30°入射時恰好可直接射到D點，$\overline{AD}$=$\sqrt{6}$$\overline{AP}$．
（i）求此透明長方體的折射率；
（ii）若改變入射角θ，要使此光束在AD面上發(fā)生全反射，求角θ的范圍．

Answer 1

分析 （i）結合題意，作出光路圖，由幾何關系求出折射角，再根據(jù)折射定律求折射率．
（ii）結合全反射的條件，以及折射定律和幾何關系求出角θ的范圍．

解答 解：（i）設折射角為α，AP的長度為d，如下圖所示．由幾何關系有：
  sinα=$\frac3a2l5qr{\sqrt{uncv2oo^{2}+（\sqrt{6}d）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$
由折射定律有 n=$\frac{sinθ}{sinα}$                                        
解得折射率 n=$\frac{\sqrt{7}}{2}$                                             

（ii）如圖，要此光束在AD面上發(fā)生全反射，
則要求射至AD面上的入射角β應滿足 sinβ≥sinC               
又有  sinC=$\frac{1}{n}$                                                
則得 sinβ=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{sinθ}{n}）^{2}}$
解得角θ的最大值 θ=60°                                       
所以：30°≤θ≤60°       
答：
（i）此透明長方體的折射率是$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（ii）角θ的范圍是30°≤θ≤60°．

點評 本題是全反射、折射定律、臨界角等知識的綜合應用，首先要正確作出光路圖，運用幾何知識研究折射角的正弦．掌握臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，結合全反射條件分析這類問題．