Question

7．新發(fā)現(xiàn)行星，其星球半徑為R=6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為h=10km，學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，已知萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，海水密度ρ=1.0×10³kg/m³，半徑為R的球面面積公式S=4πR²．
（提示：在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)，任意位置的質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力為零）
求：①此星球表面海水的質(zhì)量約為多少？（用R、ρ、h字母表示）
②此行星表面處的自由落體加速度約為多少？

Answer 1

分析 （1）先求海水體積，再根據(jù)m=ρV求質(zhì)量
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求星球表面自由落體加速度

解答 解：（1）令R、${R}_{0}^{\;}$分別表示此星球（包括海洋）及星球內(nèi)層（除表層海洋外）的半徑，r表示海洋內(nèi)任意一點(diǎn)A到星球中心的距離，則
${R}_{0}^{\;}≤r≤R$
且${R}_{\;}^{\;}={R}_{0}^{\;}+h$
設(shè)星球的總質(zhì)量為M，水的密度為ρ，由于h遠(yuǎn)小于R．所以星球表面海洋的總質(zhì)量可表示為
$m=4π{R}_{0}^{2}hρ≈4π{R}_{\;}^{2}hρ$
（2）由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{表}^{\;}$得${g}_{表}^{\;}=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
$G\frac{（M-m）m}{{R}_{0}^{2}}=m{g}_{0}^{\;}$得${g}_{0}^{\;}=\frac{G（M-m）}{{R}_{0}^{2}}$
依題意：${g}_{表}^{\;}={g}_{0}^{\;}$，即：$\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{（M-m）}{{R}_{0}^{2}}=\frac{（M-m）}{（R-h）_{\;}^{2}}•M$=$\frac{{R}_{\;}^{2}m}{2Rh-{h}_{\;}^{2}}$
則${g}_{表}^{\;}=\frac{G×4π{ρ}_{水}^{\;}{R}_{\;}^{2}h}{{R}_{\;}^{2}•2h}=2πG{ρ}_{水}^{\;}R$
將$G=6.67×1{0}_{\;}^{-11}N•{m}_{\;}^{2}/k{g}_{\;}^{2}$，${ρ}_{水}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{3}kg/{m}_{\;}^{3}$，$R=6.4×1{0}_{\;}^{6}m$代入得：${g}_{表}^{\;}=2.7m/{s}_{\;}^{2}$
答：①此星球表面海水的質(zhì)量約為$4π{R}_{\;}^{2}hρ$
②此行星表面處的自由落體加速度約為$2.7m/{s}_{\;}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 解本題的關(guān)鍵就在于首先要建立中心天體和運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星，才能運(yùn)用基本方程式求行星表面處的自由落體加速度，若把水視為運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星群，則關(guān)鍵是如何求中心天體的質(zhì)量．