Question

【題目】閃電是地球上最壯麗的自然現(xiàn)象之一，人們對(duì)閃電進(jìn)行了大量研究，近年來(lái)還觀測(cè)到閃電導(dǎo)致的瞬間發(fā)光和伽瑪射線暴等新現(xiàn)象.閃電通常由雷電云(離地6-12km)放電產(chǎn)生，多數(shù)閃電發(fā)生在云內(nèi)，少數(shù)到達(dá)地面，由于云內(nèi)冰狀顆粒相互碰撞，小顆粒冰晶帶正電，隨氣流上浮到云上端；較大顆粒帶負(fù)電，下墜到云底端(見(jiàn)圖a).云中閃電中和了云內(nèi)的正負(fù)電荷，而云地閃電則把負(fù)電荷釋放到地面.

(1)利用高空氣球攜帶的電場(chǎng)測(cè)量?jī)x測(cè)量高空中某圓柱形空域雷電云內(nèi)的電場(chǎng)，其強(qiáng)度可視為均勻分布，大小為0.15MV/m.該圓柱區(qū)域的中軸線垂直于地面，半徑為2.5km，高度為1.0km.求該區(qū)域上下兩端的電勢(shì)差、正電荷總量以及攜帶的總電能.已知真空介電常量=8.85×10-12F/m.

(2)在起電過(guò)程中，雷電云上下兩端電荷會(huì)隨時(shí)間指數(shù)增加.當(dāng)?shù)乇黼妶?chǎng)大于1.0kV/m時(shí)，就會(huì)發(fā)生云地閃電，因此地表電場(chǎng)很少超過(guò)10kV/m.假定1)中所述的雷電云從高空緩慢整體下移，直至其負(fù)電荷層離地高度為6.0km時(shí)暫時(shí)保持穩(wěn)定，地面為良導(dǎo)體，試估算此雷電云正下方產(chǎn)生的地表電場(chǎng)強(qiáng)度.

(3)云地閃電通常由帶電云底端帶負(fù)電的冰晶顆粒尖端放電觸發(fā)，先形成一條指向地面的放電細(xì)路徑(直徑為厘米量級(jí))，該細(xì)路徑隨時(shí)間向下延伸，并導(dǎo)致周圍空氣不斷電離，逐漸形成以原細(xì)路徑(橫截面大小可視為不變)為軸的粗圓柱形帶電體，最后接近地面形成云地閃電通道.該閃電通道垂直于地面，所帶負(fù)電荷總量為2.5C(原細(xì)放電路徑內(nèi)所帶電量相對(duì)很小)，閃電通道(中心放電細(xì)路徑除外)內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等.假設(shè)閃電通道的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其直徑，閃電通道的直徑遠(yuǎn)大于中心放電細(xì)路徑的直徑，且在閃電通道連通云地前的極短時(shí)間內(nèi)，閃電通道內(nèi)部的電荷分布可視為穩(wěn)定分布.已知大氣的電場(chǎng)擊穿閾值為3.0MV/m，試估算該云地閃電通道的直徑，并導(dǎo)出閃電通道(中心放電細(xì)路徑除外)內(nèi)的電荷密度徑向分布的表達(dá)式

(4)閃電通道連通云地后，云底和通道內(nèi)部的負(fù)電荷迅速流向地面；閃電區(qū)域的溫度驟然上升到數(shù)萬(wàn)攝氏度，導(dǎo)致其中的空氣電離，形成等離子體，放出強(qiáng)光，同時(shí)通道會(huì)劇烈膨脹，產(chǎn)生雷聲，閃電的放電電流經(jīng)過(guò)約10μs時(shí)間即可達(dá)數(shù)萬(wàn)安培.在通道底部(接近地面)向四周輻射出頻率約為30kHz的很強(qiáng)的無(wú)線電波.由于頻率低于20MHz(此即所謂電離層截止頻率)的電磁波不能進(jìn)入電離層內(nèi)部，該無(wú)線電波會(huì)加熱電離層底部(離地約80km)的等離子體，閃電電流--旦超過(guò)某閾值將導(dǎo)致該電離層底部瞬間發(fā)光，形成一個(gè)以強(qiáng)無(wú)線電波波源(通道底部)正上方對(duì)應(yīng)的電離層底部為中心的光環(huán)，最大直徑可延伸到數(shù)百公里.試畫(huà)出電離層底部光環(huán)產(chǎn)生與擴(kuò)展的物理過(guò)程示意圖，并計(jì)算光環(huán)半徑為100km時(shí)光環(huán)擴(kuò)張的徑向速度.

(5)球形閃電(球閃)的微波空泡模型認(rèn)為球閃是一個(gè)球形等離子體微波空腔(空泡).當(dāng)閃電微波較弱時(shí)，不足以形成微波空泡，會(huì)向太空輻射，穿透電離層，可被衛(wèi)星觀測(cè)到.實(shí)際上，衛(wèi)星確實(shí)觀測(cè)到了這種微波輻射.但衛(wèi)星觀測(cè)信號(hào)易受電離層色散的干擾，攜帶探測(cè)器的高空氣球可到達(dá)雷電云上方觀測(cè)，以避免此類干擾.為了在離地12km的高空觀測(cè)閃電發(fā)出的微波信號(hào)，需要在該區(qū)域懸浮一個(gè)載荷(包括氣球材料和探測(cè)器)為50kg的高空氦氣球，求此氣球在高空該區(qū)域懸浮時(shí)的體積.已知在離地12km的高度以下，大氣溫度隨高度每升高1km下降5.0K，地面溫度T0=290K，地面壓強(qiáng)=1.01×105pa，空氣摩爾質(zhì)量M=29g/mol；氣球內(nèi)氦氣密度(在離地高度12km處的值)=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).

Answer 1

【答案】（1） （2）3.5kV/m 電場(chǎng)方向垂直于地面朝上 （3） （4）3.8×108m/s （5）3.8×102m3

【解析】

(1)該圓柱形雷電云空域的電荷分布可近似認(rèn)為是一個(gè)平行板電容器，其電容為

(1)

式中，r=2.5km，d=1.0km.該區(qū)域上下兩端的電勢(shì)差為

U=Ed=150MV (2)

式中E=0.15MV/m。所帶正電荷總量為

=26C (3)

攜帶的總電能為

J (4)

(2)將地面考慮為平面導(dǎo)體.應(yīng)用鏡像電荷法，可得高度為h的點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的地面電場(chǎng)為

(5)

雷電云正負(fù)電荷產(chǎn)生的總地表電場(chǎng)為

=-3.5kV/m (6)

已利用(3)式和題給數(shù)據(jù)h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km.結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明電場(chǎng)方向垂直于地面朝上.

【另解】

(較為精確的計(jì)算):

考慮圓盤(pán)上一圓環(huán)形的電荷微元

其中r′為圓盤(pán)半徑，為圓盤(pán)面電荷密度.該電荷微元在圓盤(pán)中軸線(過(guò)圓盤(pán)中心且與圓盤(pán)垂直的軸線)上與盤(pán)相距x處產(chǎn)生的電勢(shì)為

整個(gè)帶電圓盤(pán)在圓盤(pán)中軸線上與盤(pán)相距x處產(chǎn)生的電勢(shì)為

整個(gè)帶電圓盤(pán)在圓盤(pán)中軸線上與盤(pán)相距x處產(chǎn)生的電場(chǎng)為

雷電云負(fù)電荷圓盤(pán)在x=h產(chǎn)生的電場(chǎng)為，

式中h為負(fù)電荷的高度.正電荷圓盤(pán)在x=h+d產(chǎn)生的電場(chǎng)為

將地面考慮為平面導(dǎo)體.應(yīng)用鏡像電荷法，得到正負(fù)電荷產(chǎn)生的地面電場(chǎng)為

(5)

已利用了(3)式。代入題給數(shù)據(jù)h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km，得

=-2.8kV/m (6)

結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明電場(chǎng)方向垂直于地面朝上。

(3)閃電通道的線電荷密度為

(7)

式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圓柱電荷體系外的電場(chǎng)為

(8)

式中r′為到圓柱中軸線的距離.閃電通道的表面(柱面)電場(chǎng)應(yīng)為擊穿電場(chǎng)，故其直徑為

=5.0m (9)

式中E擊穿=3.0MV/m.

由題設(shè)，閃電通道的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其直徑，閃電通道的直徑遠(yuǎn)大于中心放電細(xì)路徑的直徑，閃電通道可視為無(wú)窮長(zhǎng)的直圓柱體.在該直圓柱體上下兩端面的電場(chǎng)通量(邊緣效應(yīng))可忽略.在閃電通道內(nèi)部，取與閃電通道同軸的圓柱形封閉面(包含中心放電細(xì)路徑)，應(yīng)用高斯定理得

(10)

此即

將上式兩邊對(duì)r求導(dǎo)得:

(11)

于是，閃電通道內(nèi)(中心放電細(xì)路徑除外)電荷密度分布為

(12)

(4)電離層底部光環(huán)產(chǎn)生與擴(kuò)展的物理過(guò)程示意圖如解題圖a所示.

圖中，無(wú)線電波從閃電O點(diǎn)在t=0時(shí)刻以球面波形式輻射出來(lái)，波前在t=tA時(shí)刻到達(dá)電離層底面A處時(shí)開(kāi)始加熱該電離層底部的A處，這對(duì)應(yīng)光環(huán)的出現(xiàn)時(shí)刻。由于頻率低于電離層截止頻率(30kHz<<20MHz)，無(wú)線電波不能進(jìn)入電離層，無(wú)線電波的波前會(huì)掠過(guò)電離層底面.當(dāng)波前在t=tB時(shí)刻到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的光環(huán)的半徑就為.

假設(shè)在較短的時(shí)間Δt內(nèi)，光環(huán)外徑從B傳播到C；對(duì)應(yīng)的無(wú)線電波的波前從B點(diǎn)傳播到了D點(diǎn)。由于無(wú)線電波的傳播速度為c，故

(13)

其中c是光速.光環(huán)從B到C的移動(dòng)速度為

(14)

代入題給數(shù)據(jù)

(15)

由(14)(15)式得

(16)

代入題給數(shù)據(jù)=80km，=100km，得

=1.28c=3.8×108m/s； (17)

【另一解】

電離層底部光環(huán)產(chǎn)生與擴(kuò)展的物理過(guò)程示意圖如解題圖a所示.圖中，無(wú)線電波從閃電O點(diǎn)在t=0時(shí)刻以球面波形式輻射出來(lái)，波前在t=tA時(shí)刻到達(dá)電離層底面A處時(shí)開(kāi)始加熱該電離層電離層底面AB底部的A處，這對(duì)應(yīng)光環(huán)的出現(xiàn)時(shí)刻。由于頻率低于電離層截止頻率(30kHz<<<20MHz)，無(wú)線電波不能進(jìn)入電離層，無(wú)線電波的波前會(huì)掠過(guò)電離層底面。當(dāng)波前在t=tB時(shí)刻到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的光環(huán)的半徑就為.

由于無(wú)線電波的傳播速度為c，故

， （13）

式中t是光環(huán)從A擴(kuò)展至B所用時(shí)間.由幾何關(guān)系

得

(14)

將(14)式兩邊對(duì)t微商得

(15)

由幾何關(guān)系有

由上式和(15)式得

(16)

代入題給數(shù)據(jù)=80km，=100km，得

=1.28c=3.8×108m/s； (17)

(5)氣球在高空懸浮的條件是

(18)

式中m負(fù)載為氣球及載荷的總質(zhì)量，ρ1為高空的大氣密度，V0是此氣球在此高度懸浮時(shí)的體積.由(18)式得

(19)

求出ρ1即可得氣球體積.

按題意，空氣溫度隨高度的變化關(guān)系為

(20)

其中=5.0×10-3K/m.空氣壓強(qiáng)隨高度的變化滿足.

(21)

由理想氣體狀態(tài)方程

可得空氣密度

(22)

式中m和V分別為空氣質(zhì)量和體積，M為空氣摩爾質(zhì)量，為空氣密度，R為普適氣體常量.將(22)式代入(21)式得

(23)

由(23)式得

(24)

兩邊積分得

(25)

于是

(26)

相應(yīng)的空氣密度為

(27)

推導(dǎo)中用到了

(28)

由(27)式和題給數(shù)據(jù)得，離地高度z=12km處的空氣密度為

=0.31kg/cm3 (29)

將(29)式代入(19)式得

=3.8×102m3